Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№645 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Определите, принадлежат ли графику функции \(y=x^{2}+2x+5\) точки \(A(1{,}5;\;7{,}25)\), \(B(-3{,}2;\;9)\) и \(C(\sqrt{3}-1;\;7)\).
№645 учебника 2013-2022 (стр. 151):
При каких значениях параметра \(t\) имеет единственный корень уравнение:
а) \(3x^2+tx+3=0\);
б) \(2x^2-tx+50=0\);
в) \(tx^2-6x+1=0\);
г) \(tx^2+x-2=0\)?
№645 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Вспомните:
№645 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№645 учебника 2023-2025 (стр. 151):
\(y=x^{2}+2x+5\)
1) \(A(1{,}5;\;7{,}25)\) - не принадлежит графику.
\(7,25=1{,}5^{2}+2\cdot1{,}5+5\)
\(7,25=2{,}25+3+5\)
\(7,25=10{,}25\) - неверно.
2) \(B(-3{,}2;\;9)\) - не принадлежит графику.
\(9=(-3{,}2)^{2}+2\cdot(-3{,}2)+5\)
\(9=10{,}24-6{,}4+5\)
\(9=8{,}84\) - неверно.
3) \(C(\sqrt{3}-1;\;7)\) - принадлежит графику.
\(7 = (\sqrt{3}-1)^2+2(\sqrt{3}-1) + 5\)
\(7 = (\sqrt{3})^2-\cancel{2\sqrt3}+1+\cancel{2\sqrt{3}}-2 + 5\)
\(7 = 3+1-2+5\)
\(7=7\) - верно.
Пояснения:
Чтобы определить принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты вместо \(x\) и \(y\) в эту функцию, если после вычислений получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, если числовое равенство получится неверным, то точка графику не принадлежит.
Использованные приемы:
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Распределительное свойство умножения:
\(a(b + c) = ab + ac\).
- Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
№645 учебника 2013-2022 (стр. 151):
а) \(3x^2+tx+3=0\)
\( D=t^2-4\cdot 3\cdot 3=t^2-36 \)
\(t^2 - 36 = 0\)
\(t^2 = 36 \)
\(t=\pm 6 \)
Ответ: \(t=\pm 6\).
б) \(2x^2-tx+50=0\)
\( D=(-t)^2-4\cdot 2\cdot 50=t^2-400 \)
\(t^2-400 = 0 \)
\( t^2=400 \)
\(t=\pm 20 \)
Ответ: \(t=\pm 20\).
в) \(tx^2-6x+1=0\)
1 случай:
Если \(t=0\), то
\( -6x+1=0 \)
\( -6x=-1\)
\(x=\frac{1}{6} \)
2 случай:
Если \(t\neq 0\), то
\(tx^2-6x+1=0\)
\( D=(-6)^2-4t\cdot 1=36-4t \)
\( 36-4t=0 \)
\(-4t = -36\)
\(t = \frac{-36}{-4}\)
\(t=9 \)
Ответ: \(t=0\) или \(t=9\).
г) \(tx^2+x-2=0\)
1 случай:
Если \(t=0\), то
\( x-2=0 \)
\(x=2 \)
Если \(t\neq 0\), то
\(tx^2+x-2=0\)
\( D=1-4t\cdot(-2)=1+8t \)
\( 1+8t=0 \)
\(8t = -1\)
\(t=-\frac{1}{8} \)
Ответ: \(t=0\) или \(t=-\frac{1}{8}\).
Пояснения:
Мы использовали то, что квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет единственный корень в том случае, когда \(D = b^2 - 4ac = 0\).
Также в пунктах в) и г), кроме того, что мы рассмотрели случай с \(D = 0\), еще мы учли то, что если в квадратном уравнении коэффициент перед \(x^2\) равен нулю, то уравнение преобразуется в линейное, а линейное уравнение (ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
Вернуться к содержанию учебника