Упражнение 714 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

Решение:

а) \(5 + x^2 = (x+1)(x+6) \)

\(5 + x^2 =x^2 + 6x +x + 6\)

\(5 + x^2 =x^2 + 7x + 6\)

\(x^2 -x^2 -7x = 6 -5 \)

\(-7x= 1\)

\(x = -\frac{1}{7}\)

Ответ: \(x = -\frac{1}{7}\).

б) \(2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3);\)

\(2x^2 - 16x = 2x^2 - 3x +2x - 3\)

\(2x^2 - 16x = 2x^2 - x - 3\)

\(2x^2 -2x^2 -16x + x = -3\)

\(-15x = -3\)

\(x=\frac{\cancel3^{1}}{\cancel{15}_{5}}\)

\(x = \frac{1}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{1}{5}\).

в) \((3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0;\)

\(3x^2 + 12x -2x - 8 - 3(x^2 -x +5x - 5) =0\)

\(3x^2 + 10x - 8 - 3(x^2 +4x - 5) =0\)

\(3x^2 + 10x - 8 - 3x^2 -12x + 15 =0\)

\(-2x + 7 = 0\)

\(-2x = -7\)

\(x = \frac{7}{2}\)

\(x = 3,5\)

Ответ: \(x = 3,5\).

г) \(x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2\)

\(x^2 + 6x - 2x^2 = 2x - x^2 - 2 +x -2\)

\(-x^2 + 6x  = -x^2 +3x -4\)

\(-x^2 +x^2 +6x -3x = -4\)

\(3x = -4\)

\(x = -\frac{4}{3}\)

\(x = -1\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x = -1\frac{1}{3}\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснение к пункту а):

Раскрыли скобки в правой части:

\((x+1)(x+6)=x^2+7x+6\). Затем перенесли \(x^2\) и \(7x\) из правой в левую часть, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(-7x= 1\).

Пояснение к пункту б):

Раскрыли скобки в левой части:

\(2x(x-8)=2x^2-16x\)

и в правой части:

\((x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\).

Затем перенесли \(2x^2\) и \(-x\) из правой в левую часть, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(-15x = -3\).

Пояснение к пункту в):

Сначала раскрыли обе пары скобок, затем выполнили вычитание многочленов:

\( (3x^2+10x-8)-(3x^2+12x-15)= -2x+7\),

Сократили противоположные выражения и привели подобные, перенесли выражения без переменной из левой части уравнения в правую, решили линейное уравнение \(-2x = -7\).

Пояснение к пункту г):

Упростили левую часть:

\(x^2+x(6-2x)=x^2+6x-2x^2=-x^2+6x\).

Правую часть:

\((x-1)(2-x)-2=-x^2+3x-4\).

Перенесли выражения с переменной из правой части уравнения в левую, а без переменной - из левой части уравнения в правую, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(3x = -4\).

а) \( 2a + a c^2 - a^2 c - 2c =\)

\(=(2a - 2c) + (a c^2 - a^2 c) =\)

\(=2(a - c) + ac(c - a) =\)

\(=(a - c)\,(2 - ac). \)

Если \(a=1\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\), \(c=-1\tfrac{2}{3}=-\tfrac{5}{3}\), то

\( \bigl(\tfrac{4}{3} - (-\tfrac{5}{3})\bigr)\,\Bigl(2 - \tfrac{4}{3}\cdot(-\tfrac{5}{3})\Bigr) = \)

\(=\tfrac{9}{3}\cdot\Bigl(2^{\color{blue}{\backslash9}} + \tfrac{20}{9}\Bigr) = \)

\(3\cdot\Bigl(\tfrac{18}{9} + \tfrac{20}{9}\Bigr) =\)

\(=\cancel3\cdot\tfrac{38}{\cancel9_{3}} = \tfrac{38}{3}=12\tfrac{2}{3}. \)

б) \( x^2y - y + xy^2 - x =\)

\(=(x^2y + xy^2) - (y + x) =\)

\(=xy(x + y) - 1\cdot(x + y) =\)

\(=(x + y)\,(xy - 1). \)

Если \(x=4\), \(y=0,25=\tfrac{1}{4}\), то

\( \bigl(4 + \tfrac{1}{4}\bigr)\,\bigl(4\cdot\tfrac{1}{4} - 1\bigr) =\)

\(=4\tfrac{1}{4}\cdot(1 - 1) = 4\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 0. \)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

4. Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Пояснение к пункту а):

Сгруппировали члены парами, вынесли общий множитель в каждом и получили общий множитель \((a - c)\) и второй множитель \((2 - ac)\). Затем перевели смешанные числа в дроби: \(a=1\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\), \(c=-1\tfrac{2}{3}=-\tfrac{5}{3}\). Подставили в оба множителя, вычислили сумму и произведение дробей, получили \(12\tfrac{2}{3}\).

Пояснение к пункту б):

Сгруппировали первые два и последние два члена, вынесли \(xy\) и \(1\) соответственно, получили общий множитель \((x+y)\) и множитель \((xy-1)\). Подставили \(x=4\), \(y=0,25=\tfrac{1}{4}\), вычислили \(xy=1\) и получили нулевое значение второго множителя, что даёт итоговый результат 0.