Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№716 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.
№716 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Представьте в виде произведения:
а) \(ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd\);
б) \(ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a\);
в) \(an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2\);
г) \(xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a\).
№716 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Вспомните:
№716 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Вспомните:
№716 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Решение:
Пусть \(n\), \(n+1\), \(n+2\) - три последовательных натуральных числа. Известно, что \(n^2\) на 65 меньше произведения \((n+1)(n+2)\) .
Составим уравнение.
\(n^2 = (n+1)(n+2) - 65\).
\(n^2 = n^2 + 2n + n + 2 - 65\).
\(n^2 = n^2 + 3n - 63\).
\(n^2 - n^2 - 3n = -63\)
\(-3n = -63\)
\(n = \frac{63}{3}\)
\(n = 21\).
\(21 + 1 = 22\) - второе число.
\(21 + 2 = 23\) - третье число.
Ответ: три числа \(21\), \(22\), \(23\).
Пояснения:
Использованные правила:
— Обозначение последовательных натуральных чисел через неизвестную \(n\).
— Раскрытие произведения:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
— Перенос членов через знак «=»: если
\(A + C= B + D\), то \(A - D = B - C\).
— Приведение подобных членов:
\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).
— Решение линейного уравнения:
из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).
Пояснения к шагам:
Сначала вводим обозначения, учитывая обозначение последовательных натуральных чисел через неизвестную \(n\).
Затем составляем уравнение по условию: «квадрат меньшего» равен «произведению двух остальных минус 65».
Далее раскрываем в полученном уравнении скобки:
\((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\).
После переносим выражения, содержащие переменную, из левой части уравнения в правую, сокращаем противоположные выражения и приводим подобные, получаем линейное уравнение \(-3n = -63\), решив которое, имеем \(n=21\).
Наконец, подстановка \(n=21\) даёт искомые числа \(21,22,23\).
№716 учебника 2013-2022 (стр. 152):
а) \( ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd =\)
\(=(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) - (bc^2 - bd) =\)
\(=a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d) =\)
\(=(c^2 - d)\,(a + c - b). \)
б) \( ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a =\)
\(=(ax^2 + ay^2 - a) - (bx^2 + by^2 - b) =\)
\(=a\,(x^2 + y^2 - 1) - b\,(x^2 + y^2 - 1) =\)
\(=(a - b)\,(x^2 + y^2 - 1). \)
в) \( an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2 =\)
\(=(an^2 + cn^2) + (ap^2 + cp^2) - (ap + cp) =\)
\(=(a + c)\,n^2 + (a + c)\,p^2 - (a + c)\,p =\)
\(=(a + c)\,(n^2 + p^2 - p). \)
г) \( xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a =\)
\(=(xy^2 - by^2 + y^2) - (ax - ab + a) =\)
\(=(x - b + 1)\,y^2 - (x - b + 1)\,a =\)
\(=(x - b + 1)\,(y^2 - a). \)
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
В каждом пункте сначала выделили группы так, чтобы получить общий множитель, затем вынесли его за скобки и сгруппировали оставшиеся слагаемые внутри второй скобки.
Вернуться к содержанию учебника