Упражнение 698 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 149

Пояснения:

Учитывая определение степени, представляем многочлен данный в квадрате в виде произведения двух таких многочленов и выполняем умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Решение:

а) \(5 + x^2 = (x+1)(x+6) \)

\(5 + x^2 =x^2 + 6x +x + 6\)

\(5 + x^2 =x^2 + 7x + 6\)

\(x^2 -x^2 -7x = 6 -5 \)

\(-7x= 1\)

\(x = -\frac{1}{7}\)

Ответ: \(x = -\frac{1}{7}\).

б) \(2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3);\)

\(2x^2 - 16x = 2x^2 - 3x +2x - 3\)

\(2x^2 - 16x = 2x^2 - x - 3\)

\(2x^2 -2x^2 -16x + x = -3\)

\(-15x = -3\)

\(x=\frac{\cancel3^{1}}{\cancel{15}_{5}}\)

\(x = \frac{1}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{1}{5}\).

в) \((3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0;\)

\(3x^2 + 12x -2x - 8 - 3(x^2 -x +5x - 5) =0\)

\(3x^2 + 10x - 8 - 3(x^2 +4x - 5) =0\)

\(3x^2 + 10x - 8 - 3x^2 -12x + 15 =0\)

\(-2x + 7 = 0\)

\(-2x = -7\)

\(x = \frac{7}{2}\)

\(x = 3,5\)

Ответ: \(x = 3,5\).

г) \(x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2\)

\(x^2 + 6x - 2x^2 = 2x - x^2 - 2 +x -2\)

\(-x^2 + 6x  = -x^2 +3x -4\)

\(-x^2 +x^2 +6x -3x = -4\)

\(3x = -4\)

\(x = -\frac{4}{3}\)

\(x = -1\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x = -1\frac{1}{3}\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснение к пункту а):

Раскрыли скобки в правой части:

\((x+1)(x+6)=x^2+7x+6\). Затем перенесли \(x^2\) и \(7x\) из правой в левую часть, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(-7x= 1\).

Пояснение к пункту б):

Раскрыли скобки в левой части:

\(2x(x-8)=2x^2-16x\)

и в правой части:

\((x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\).

Затем перенесли \(2x^2\) и \(-x\) из правой в левую часть, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(-15x = -3\).

Пояснение к пункту в):

Сначала раскрыли обе пары скобок, затем выполнили вычитание многочленов:

\( (3x^2+10x-8)-(3x^2+12x-15)= -2x+7\),

Сократили противоположные выражения и привели подобные, перенесли выражения без переменной из левой части уравнения в правую, решили линейное уравнение \(-2x = -7\).

Пояснение к пункту г):

Упростили левую часть:

\(x^2+x(6-2x)=x^2+6x-2x^2=-x^2+6x\).

Правую часть:

\((x-1)(2-x)-2=-x^2+3x-4\).

Перенесли выражения с переменной из правой части уравнения в левую, а без переменной - из левой части уравнения в правую, сократили противоположные выражения и привели подобные, решили линейное уравнение \(3x = -4\).