Упражнение 695 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

а) \(n(n-1) - (n+3)(n+2) =\)

\(=n^2 - n - \bigl(n^2 + 3n + 2n + 6\bigr)=\)

\(=n^2 - n - \bigl(n^2 + 5n + 6\bigr)=\)

\(= n^2 - n - n^2 - 5n - 6 =\)

\(=-6n - 6 = -6(n + 1)\) -  делится на 6.

б) \(n(n+2) - (n-7)(n-5) =\)

\(=n^2 + 2n - \bigl(n^2 - 5n - 7n + 35\bigr)=\)

\(=n^2 + 2n - \bigl(n^2 - 12n + 35\bigr)=\)

\(= n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 =\)

\(= 14n - 35 = 7(2n - 5)\) - делится на 7.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2. Раскрытие скобок для произведения:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

3. Правило вычитания скобок:

\(A - (B+C)=A - B - C\).

4. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

5. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), где \(m\) какой-либо многочлен, то оно делится на \(k\).

Пояснения к шагам:

Для пункта а):

сначала раскрыли скобки

\(n(n-1)=n^2-n\) и

\((n+3)(n+2)=n^2+5n+6\),

затем вычли второе из первого, получили \(-6n-6\), используя распределительное свойство умножения, вынесли множитель -6 за скобки \(-6(n+1)\). По критерию делимости на 6, множитель \(-6\) гарантирует делимость.

Для пункта б):

раскрыли скобки

\(n(n+2)=n^2+2n\) и

\((n-7)(n-5)=n^2-12n+35\),

затем вычли второе из первого, получили \(14n-35\), используя распределительное свойство умножения, вынесли множитель 7 за скобки \(7(2n-5)\). По критерию делимости на 7 множитель 7 гарантирует делимость.