Упражнение 702 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Решение:

а) \((x+1)(x+2)(х+3)=\)

\(=(x^2+2x+х+2)(x+3)=\)

\(=(x^2+3x+2)(x+3)=\)

\(=x^3 + 3x^2+ 3x^2+ 9x + 2x + 6 =\)

\(=x^3+6x^2+11x+6\).

б) \((a-1)(a-4)(а+5)=\)

\(=(a^2-4a-а+4)(a+5)=\)

\(=(a^2-5a+4)(a+5)=\)

\(=a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20=\)

\(=a^3-21a+20\).

Пояснения:

Использованные правила:

1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2) Правило раскрытия произведения двух скобок:

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

3) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

4) Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Для пункта а):

Сначала перемножили первые два двучлена по правилу распределения:

\((x+1)(x+2)=\)

\(=x\cdot x + x\cdot2 + 1\cdot x + 1\cdot2 =\)

\(=(x^2+2x+х+2)=\)

\(=x^2+3x+2\).

Затем умножили полученный трёхчлен на третий множитель:

\((x^2+3x+2)(x+3)=\)

\(=x^2\cdot x + x^2\cdot3 + 3x\cdot x + 3x\cdot3 + 2\cdot x + 2\cdot3 =\)

\(=x^3 + 3x^2+ 3x^2+ 9x + 2x + 6 =\)

\(= x^3+6x^2+11x+6\).

Для пункта б):

Сначала:

\((a-1)(a-4)=\)

\(=a\cdot a + a\cdot(-4) + (-1)\cdot a + (-1)\cdot(-4) =\)

\(=(a^2-4a-а+4)=\)

\(=a^2 -5a +4\).

Затем:

\( (a^2-5a+4)(a+5)=\)

\(=a^2\cdot a + a^2\cdot5 + (-5a)\cdot a + (-5a)\cdot5 + 4\cdot a + 4\cdot5 =\)

\(=a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20=\)

\(= a^3 -21a +20\).

Таким образом, в виде многочленов получаем:

а) \(\;x^3+6x^2+11x+6\);

б) \(\;a^3-21a+20\).

Пусть длина прямоугольника \(x\) (см), тогда его ширина \(70 : 2 - x = 35 - x\) (см), а площадь \(x(35-x)\) (см²). Новая длина \(x - 5\) (см), а ширина \(35 - x + 5 = 40 - x\) см, тогда новая площадь \((x - 5)(40-x)\) (см²). Известно, что новая площадь на 50 см² больше исходной площади.

Составим уравнение:

\((x - 5)(40-x) - x(35-x) = 50\)

\(40x - x^2 - 200 + 5x - 35x + x^2 = 50\)

\(10x - 200 = 50\)

\(10x = 50 + 200\)

\(10x = 250\)

\(x = \frac{250}{10}\)

\(x = 25\) (см) - длина исходного прямоугольника.

\(35 - 25 = 10 \)(см) - ширина исходного прямоугольника.

Ответ: 25 см и 10 см.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

По условию задачи составляем уравнение. Для этого сначала вводим обозначения.

Учитывая то, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины, чтобы найти ширину прямоугольника можно его периметр разделить на 2 и вычесть длину. Поэтому, обозначив длину прямоугольника за \(x\) (см), его ширина будет равна \(70 : 2 - x = 35 - x\) (см). Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника \(x(35-x)\) (см²). Если длину исходного прямоугольника уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то новая длина будет равна \(x - 5\) (см), а ширина \(35 - x + 5 = 40 - x\) см, тогда новая площадь \((x - 5)(40-x)\) (см²). Известно, что новая площадь на 50 см² больше исходной площади. Получается можем составить следующее уравнение:

\((x - 5)(40-x) - x(35-x) = 50\).

В полученном уравнении раскрываем скобки. Первую пару скобок раскрываем по правилу умножения двух скобок, а третью скобку раскрываем по распределительному свойству умножения, учитывая знак "минус", получим:

\(40x - x^2 - 200 + 5x - 35x + x^2 = 50\).

Затем в левой части уравнения сокращаем противоположные выражения и приводим подобные:

\(10x - 200 = 50\).

Теперь \(-200\) переносим из левой части уравнения в правую:

\(10x = 50 + 200\).

Получаем линейное уравнение:

\(10x = 250\), значит, \(x = \frac{250}{10}\), откуда \(x = 25\).

Учитывая введенные выше обозначения, длина исходного прямоугольника равна 25 см, а ширина: \(35 - 25 = 10\) (см)