Упражнение 699 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 149

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Схема умножения многочлена на многочлен из пункта а):

В пунктах б), д), ж) действуем аналогично.

Схема умножения многочлена на многочлен из пункта в):

В пунктах г), е), з) действуем аналогично.

Решение:

а) \(n(n+5) - (n-3)(n+2) =\)

\(=n^2 + 5n - \bigl(n^2 + 2n - 3n - 6\bigr)=\)

\(=n^2 + 5n - \bigl(n^2 - n - 6\bigr)=\)

\(= n^2 + 5n - n^2 + n + 6=\)

\(= 6n + 6 = 6(n + 1)\) - кратно 6.

б) \((n-1)(n+1) - (n-7)(n-5) =\)

\(=\bigl(n^2 + n - n - 1\bigr) - \bigl(n^2 - 5n - 7n + 35\bigr)=\)

\(=\bigl(n^2 - 1\bigr) - \bigl(n^2 - 12n + 35\bigr)=\)

\(= n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35=\)

\(= 12n - 36 = 12(n - 3)\) - кратно 12.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2. Раскрытие скобок для произведения:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

3. Правило вычитания скобок:

\(A - (B+C)=A - B - C\).

4. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

5. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), то оно кратно \(k\).

Пояснения к пунктам:

а) При раскрытии скобок получаем разность \(n^2+5n\) и \(n^2 - n -6\). Сокращаем противоположные, приводим подобные, получаем \(6n+6\), используя распределительное свойство умножения, выносим множитель 6 за скобки: \(6\cdot(n+1)\). Согласно критерию делимости можем сделать вывод о том, что при любом натуральном значении \(n\) значение данного выражение кратно 6.

б) При раскрытии скобок получаем разность \(n^2-1\) и \(n^2-12n+35\). Сокращаем противоположные, приводим подобные, получаем \(12n - 36\), используя распределительное свойство умножения, выносим множитель 12 за скобки: \(12\cdot(n-3)\). Согласно критерию делимости можем сделать вывод о том, что при любом натуральном значении \(n\) значение данного выражение кратно 12.