Упражнение 694 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пояснения:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

\((y-6)(y+8) - 2(y-25) =\)

\(=y^2 +8y -6y -48 - 2y + 50 =\)

\(= y^2 + 2\).

\(y^2 \ge 0\) для любого \(y\), тогда

\(y^2 + 2 > 0.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2) Правило раскрытия произведения двух скобок:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$

3) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

4) Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

5) Неотрицательность квадрата:

\(y^2 \ge 0\) для любого \(y\).

Раскроем каждое произведение буквально, перемножая по членам:

\((y-6)(y+8) =\)

\(=y\cdot y + y\cdot8 -6\cdot y -6\cdot8 =\)

\(=y^2 +8y -6y -48 =\)

\(=y^2 +2y -48\),

\(2(y-25) = 2\cdot y - 2\cdot25 =\)

\(=2y -50\).

Вычтем второе выражение из первого, распространяя знак «−» на каждый член:

\((y^2 +2y -48) - (2y -50) =\)

\(=y^2 +2y -48 -2y +50 =\)

\(=y^2 +2\).

Обоснование положительности:

После раскрытия и приведения подобных членов получили выражение \(y^2 + 2\). Так как \(y^2\) неотрицательно, сумма с \(2\) не может быть меньше \(2\), следовательно \(y^2 + 2 > 0\) при любом \(y\).