Наименьшее общее кратное

Задача:

Петя строит железную дорогу из частей, длина которых 4 см, а Сережа, из частей длина которых 6 см. Какую наименьшую протяженность дорожного полотна построят мальчики равной длины?

Решение:

Длина дороги, построенной мальчиками, должна делиться нацело на 4 и 6, так как части, из которых строят дорогу Петя и Сережа равны 4 см и 6 см соответственно, то есть длина построенной железной дороги должна быть кратной и 4, и 6.

Числа кратные 4:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60...

Числа кратные 6:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60...

То есть общими кратными чисел 4 и 6 являются числа (выделено синим):

12, 24, 36, 48, 60...

Но наименьшим из них является 12. Это число называется наименьшим общим кратным.

То есть наименьшая протяженность дорожного полотна равной длины у Пети и Сережи 12 см.

Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, то есть кратно каждому из них, называют наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел и обозначают так: НОК(; ), то есть мы можем записать НОК(4; 6) = 12.

Нахождение наименьшего общего кратного:

1 способ:

Найдем НОК(12; 15).

Выбираем наибольшее из двух чисел, в нашем случае это число 15, и записываем числа кратные ему, до тех пор, пока не получим число, которое будет кратно второму числу, в нашем случае числу 12.

Получаем: 15, 30, 45, 60.

Число 60 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть НОК(12; 15) = 60.

2 способ:

Разложим данные числа на простые множители:

12 = 223          15 = 35.

Далее для выписываем простые множители, которые входят в разложение первого числа, и добавляем множители из разложения второго числа, которых нет в разложении первого, то есть в нашем случае, это множитель 5.

Итак, мы получим 4 множителя 2235, произведение данных множителей равно числу 60, которое является наименьшим общим кратным чисел 12 и 15, то есть мы снова получили НОК(12; 15) = 60.

Таким же образом можно найти НОК трех и более чисел.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

  1. разложить их на простые множители;
  2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  3. добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
  4. найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

3 способ:

Найдем НОК(2520; 4620). Для это разложим данные числа на простые множители и запишем разложение в виде произведения степеней:

                                               

2 520 = 23325171                            4 620 = 22315171111.

Далее используем правило:

  1. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений.
  2. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с бóльшим показателем.
  3. Перемножить выбранные степени. Полученное произведение является искомым наименьшим общим кратным.

В нашем случае:

  1. Встречается только в одном разложении: 111.
  2. Степени с бóльшими показателями: 23, 32, 51, 71.
  3. Находим произведение данных степеней, то есть искомый наименьшее общее кратное:  НОК(2520; 4620) = 2332517111 = 27 720.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Задание 179, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 181, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 183, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 184, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 185, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 231, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 240, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 300, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 304, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 305, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник