Упражнение 765 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть в прошлом году урожайность ржи была \(x\) ц/га (\(x > 0\)), пшеницы — \(y\) ц/га (\(y > 0\)), тогда:

\(20x+30y=2300\).

В этом году урожайность ржи:

\(x + 0,2x = 1{,}2x\).

В этом году урожайность пшеницы:

\(y + 0,3y = 1{,}3y\).

Тогда:

\(20\cdot 1{,}2x+30\cdot 1{,}3y=2300+610\)

\[24x+39y=2910\]

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases}20x+30y=2300,   / : 10 \\ 24x+39y=2910    / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases}2x+3y=230,   / \times (-4) \\ 8x+13y=970 \end{cases}\)

\(\begin{cases}-8x-12y=-920, \\ 8x+13y=970 \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((-8x-12y) + (8x + 13y) = -920 + 970\)

\(-\cancel{8x}-12y + \cancel{8x} + 13y =50\)

\(y = 50\)

2) \(8x+13\cdot 50=970\)

\(8x + 650 = 970\)

\(8x = 970 - 650\)

\(8x = 320\)

\(x = \frac{320}{8}\)

\(x = 40\)

3) \(1{,}2 \cdot40 = 48\) (ц/га) - урожайность ржи в этом году.

4) \(1{,}3y\cdot50 = 65\) (ц/га) - урожайность пшеницы в этом году.

Ответ: рожь - \(48\) ц/га,

пшеница - \(65\) ц/га.

Пояснения:

Правила и формулы, которые использовались:

Чтобы узнать массу всего урожая, нужно площадь умножить на урожайность.

Если урожайность ржи в прошлом году обозначить \(x\) ц/га, то урожайность ржи в этом году с учетом роста на 20% будет равна \(1,2x\) ц/га.

Если урожайность пшеницы в прошлом году обозначить \(y\) ц/га, то урожайность пшеницы в этом году с учетом роста на 30% будет равна \(1,3y\) ц/га.

Далее по условию задачи составили систему уравнений с двумя переменными, которую решили методом сложения и нашли урожайности ржи и пшеницы в прошлом году: \(x = 50\) и \(y = 40\).

Затем нашли урожайности ржи и пшеницы в этом году:

\(1{,}2 \cdot x = 48\) (ц/га) - рожь,

\(1{,}3y\cdot y = 65\) (ц/га) - пшеница.

а) \( -2 < \frac{4x-1}{5} < 2 \)

\( \begin{cases}  \dfrac{4x-1}{5} > -2       \color{red}{|\times5} \\  \dfrac{4x-1}{5} < 2              \color{red}{|\times5}    \end{cases} \)

\( \begin{cases}  4x-1 > -10 \\  4x-1 < 10   \end{cases} \)

\( \begin{cases}  4x > -9  \color{red}{|:4} \\  4x < 11  \color{red}{|:4}  \end{cases} \)

\( \begin{cases}  x > -\dfrac{9}{4} \\  x < \dfrac{11}{4}\end{cases} \)

\( \begin{cases}  x > -2,25\\  x < 2,75\end{cases} \)

Ответ: \(x\in(-2,25; 2,75).\)

б) \( 0{,}2 \le \frac{1-5x}{20} \le 0{,}4 \)

\( \begin{cases} \dfrac{1-5x}{20} \ge 0{,}2        \color{red}{|\times20}  \\ \dfrac{1-5x}{20} \le 0{,}4        \color{red}{|\times20}  \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1-5x \ge 4 \\ 1-5x \le 8  \end{cases} \)

\( \begin{cases} -5x \ge 3   \color{red}{|:(-5)}  \\ -5x \le 7   \color{red}{|:(-5)}   \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \le -\dfrac{3}{5} \\ \\ x \ge -\dfrac{7}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \le -0,6\\ x \ge -1,4 \end{cases} \)

Ответ:  \([\in[-1,4;-0,6]\).
 

Пояснения:

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.