Упражнение 664 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(S_{20}=1000,\ S_{40}=10000\)

\(a_{50} - ?\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(\begin{cases} S_{20} = \dfrac{2a_1 + d(20-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{20}  ^{\color{blue}{10}} ,\\[6pt] S_{40} = \dfrac{2a_1 + d(40-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{40}  ^{\color{blue}{20}} \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2a_1 + 19d)\cdot10=1000,   / : 10 \\[6pt] (2a_1 + 39d)\cdot 20=10000    / : 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a_1 + 19d=100, \\[6pt] 2a_1 + 39d=500 \end{cases}\)  \((-)\)

1) \((2a_1 + 19d) - (2a_1 + 39d) = 100 - 500\)

\(\cancel{2a_1} + 19d - \cancel{2a_1} - 39d = -400\)

\(-20d = -400\)

\(d = \frac{-400}{-20}\)

\(d = 20\)

2) \(2a_1 + 19\cdot20=100\)

\(2a_1 + 380 = 100\)

\(2a_1 = 100 - 380 \)

\(2a_1 = -280\)

\(a_1 = \frac{-280}{2}\)

\(a_1 = -140\)

3) \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_{50}=a_1+(50-1)d=\)

\(=-140+49\cdot20 =\)

\(=-140 + 980 =840\).

Ответ: \(a_{50}= 840\).

б) \(S_5=0{,}5,\ S_{15}=-81.\)

\(a_{50} - ?\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{2a_1 + d(5-1)}{2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{2a_1 + d(15-1)}{2}\cdot 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{2a_1 + 4d}{2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{2a_1 + 14d}{2}\cdot 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} S_{5} = \dfrac{\cancel2(a_1 + 2d)}{\cancel2}\cdot 5 ,\\[6pt] S_{15} = \dfrac{\cancel2(a_1 + 7d)}{\cancel2}\cdot 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (a_1 + 2d)\cdot5=0,5, \\[6pt] (a_1 + 7d)\cdot 15= -81 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5a_1 + 10d=0,5,   /\times 3 \\[6pt] 15a_1 + 105d = -81 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 15a_1 + 30d=1,5, \\[6pt] 15a_1 + 105d = -81 \end{cases}\)  \((-)\)

\((15a_1 + 30d)-(15a_1 + 105d)=1,5 -(-81)\)

\(15a_1 + 30d-15a_1 - 105d=1,5 + 81\)

\(-75d = 82,5\)

\(d = \frac{82,5}{-75}\)

\(d = -1,1\)

2) \(5a_1 + 10\cdot(-1,1)=0,5\)

\(5a_1 - 11 = 0,5\)

\(5a_1 = 0,5 + 11\)

\(5a_1 = 11,5\)

\(a_1 = \frac{11,5}{5}\)

\(a_1 = 2,3\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_{50}=a_1+(50-1)d=\)

\(=2,3+49\cdot(-1,1) =\)

\(=2,3 - 53,9 =-51{,}6\)

Ответ: \(a_{50}= -51,6\).

Пояснения:

Используемые формулы:

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n.\)

Формула \(n\) - го члена арифметической прогрессии:

\(a_n=a_1+(n-1)d.\)

Идея решения.

По известным суммам составляется система уравнений относительно \(a_1\) и \(d\). После её решения по формуле \(a_n\) находится пятидесятый член прогрессии.

\[S_n=\frac{n}{n+1}.\]

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\)

1) При \(n = 1\):

\[\frac{1}{1\cdot 2}= \frac{1}{1+1}\]

\(\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}\).

При \(n = k+1\):

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k}{k+1} ^{\color{blue}{\backslash k+2}} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{k^2+2k + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{(k + 1)^{\cancel2}}{\cancel{(k+1)}(k+2)}=\)

\(=\frac{k + 1}{k+2} =\frac{k + 1}{(k+1)+1}.\)

Формула верна при \(n = k+1\), значит, формула верна при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям равенства добавляется \(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\frac{k + 1}{(k+1)+1}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).