Упражнение 666 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 185

\((x_n)\) - последовательность.

\(S_n=n^2-8n\)

1) \(x_n=S_n-S_{n-1}\)

\(S_{n-1} = (n-1)^2-8(n-1) =\)

\(=n^2-2n+1-8n+8=\)

\(=n^2 - 10n + 9\).

\(x_n=(n^2-8n)-(n^2 - 10n + 9)=\)

\(=n^2-8n-n^2+10n-9=\)

\(=2n-9.\)

\(d = x_{n+1}-x_n=\)

\(=(2(n+1)-9)-(2n-9)=\)

\(=\cancel{2n} + 2 - \cancel9 - \cancel{2n} + \cancel9 =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность арифметическая.

\(x_5=2\cdot5-9 = 10 - 9 =1\).

Ответ: \(x_5= 1\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Член последовательности выражается через суммы:

\[x_n=S_n-S_{n-1}.\]

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна (не зависит от \(n\).

Проверка, является ли последовательность арифметической.

По формуле суммы \(S_n=n^2-8n\) находим общий член последовательности:

\[x_n=2n-9.\]

Так как каждый следующий член увеличивается на одно и то же число \(2\), последовательность является арифметической прогрессией.

Нахождение пятого члена.

Подставляя \(n=5\) в формулу общего члена, получаем:

\[x_5=2\cdot5-9=1.\]