Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\dfrac{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}{x\cdot x^3\cdot x^5\cdot ... \cdot x^{2n-1}}\);
б) \(\dfrac{x^2\cdot x^4\cdot x^6\cdot ... \cdot x^{2n}}{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}\).
Вспомните:
а) \(\dfrac{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}{x\cdot x^3\cdot x^5\cdot ... \cdot x^{2n-1}}=\)
\(=\dfrac{x^{1+2+3+\dots+n}}{x^{1+3+5+\dots+(2n-1)}}=\)
\(=\dfrac{x^{\frac{n^2+n}{2}}}{x^{n^2}}=x^{\frac{n^2+n}{2} - n^2 ^{\color{blue}{\backslash2}} }=\)
\(=x^{\frac{n^2+n - 2n^2}{2}}=x^{\frac{n - n^2}{2}}\).
1) \(1; 2; 3; ... ; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 1\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)
\(= \frac{2 + n-1}{2}\cdot n=\frac{(n + 1)n}{2}=\)
\(=\frac{n^2 + n}{2}\).
2) \(1; 3; 5; ... ; 2n-1\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 2\).
\(a_1 = 1\)
\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 2\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)
\(= \frac{2 + 2n-2}{2}\cdot n=\)
\(= \frac{\cancel2n\cdot n}{\cancel2}=n^2\).
Ответ: \(x^{\frac{n - n^2}{2}}\).
б) \(\dfrac{x^2\cdot x^4\cdot x^6\cdot ... \cdot x^{2n}}{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}=\)
\(=\dfrac{x^{2+4+6+\dots+2n}}{x^{1+2+3+\dots+n}}=\)
\(=\dfrac{x^{n^2+n}}{x^{\frac{n^2+n}{2}}}=x^{(n^2+n) ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{n^2+n}{2}}=\)
\(=x^{\frac{2(n^2+n)-(n^2+n)}{2}}=x^{\frac{2n^2+2n-n^2-n}{2}}=\)
\(=x^{\frac{n^2+n}{2}}\).
1) \(2; 4; 6; ... ; 2n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 2\).
\(a_1 = 2\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(S_n = \frac{2\cdot2 + 2\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)
\(= \frac{4 + 2n-2}{2}\cdot n= \frac{(2n+2)n}{2}=\)
\(=\frac{\cancel2(n+1)n}{\cancel2}=(n+1)n = n^2 +n\)
2) \(1; 2; 3; ... ; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\)
\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 1\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)
\(= \frac{2 + n-1}{2}\cdot n=\frac{(n + 1)n}{2}=\).
\(=\frac{n^2 + n}{2}\).
Ответ: \(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[x^a\cdot x^b=x^{a+b}.\]
2) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
\[\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\quad (x\ne 0).\]
3) В каждом случае степени представляют собой арифметическую прогрессию.
4) Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
Вернуться к содержанию учебника