Упражнение 663 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 185

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(S_{10}=100\),   \(S_{30}=900\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(\begin{cases} S_{10} = \dfrac{2a_1 + d(10-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{10}  ^{\color{blue}{5}} ,\\[6pt] S_{30} = \dfrac{2a_1 + d(30-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{30}  ^{\color{blue}{15}} \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2a_1 + 9d)\cdot5=100,   / : 5\\[6pt] (2a_1 + 29d)\cdot 15=900    / : 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2a_1 + 9d=20, \\[6pt] 2a_1 + 29d=60 \end{cases}\)  \((-)\)

1) \((2a_1 + 9d) - (2a_1 + 29d) = 20 - 60\)

\(\cancel{2a_1} + 9d - \cancel{2a_1} - 29d = -40\)

\(-20d = -40\)

\(d = \frac{-40}{-20}\)

\(d = 2\)

2) \(2a_1 + 9\cdot2=20\)

\(2a_1 + 18=20\)

\(2a_1 =20-18\)

\(2a_1 = 2\)

\(a_1 = 1\)

\(S_{40} = \frac{2\cdot1 + 2\cdot(40-1)}{\cancel2}\cdot \cancel{40}  ^{\color{blue}{20}}  =\)

\(=(2 + 2\cdot39)\cdot 20=\)

\(=(2 + 78)\cdot20=80\cdot20= 1600\)

Ответ: \(S_{40} = 1600\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\).

2) Если известны суммы для разных значений \(n\), можно составить систему уравнений относительно \(a_1\) и \(d\).

Как решается задача.

По условиям задачи составляются два уравнения для сумм \(S_{10}\) и \(S_{30}\). Вычитая их, удобно найти разность прогрессии \(d\). После этого определяется первый член \(a_1\), и по формуле суммы находится \(S_{40}\).