Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\);
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\);
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\);
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)?
Вспомните:
а) \(x_1+1;\ x_2+1;\ \dots;\ x_n+1;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}+1}{x_n+1}=\dfrac{x_n q+1}{x_n+1}\) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.
Ответ: не является геометрической прогрессией.
б) \(3x_1;\ 3x_2;\ \dots;\ 3x_n;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{3x_{n+1}}{3x_n}=\dfrac{\cancel{3x_n} \cdot q}{\cancel{3x_n}}=q\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
в) \(x_1^2;\ x_2^2;\ \dots;\ x_n^2;\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{x_{n+1}^2}{x_n^2}=\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2=\left(\dfrac{\cancel{x_n}\cdot q}{\cancel{x_n}}\right)^2=q^2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: не является геометрической прогрессией.
г) \(\dfrac{1}{x_1};\ \dfrac{1}{x_2};\ \dots;\ \dfrac{1}{x_n};\ \dots\)
\((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
\[x_{n+1}=x_n\cdot q\]
\(\dfrac{\frac{1}{x_{n+1}}}{\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{x_{n+1}}\cdot x_n=\dfrac{x_n}{x_{n+1}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{x_n}}{\cancel{x_n}\cdot q}=\dfrac{1}{q}\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.
Ответ: является геометрической прогрессией.
Пояснения:
Используемые правила и определения:
1) Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение соседних членов постоянно, то есть равно какому-нибудь числу:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\text{const}.\]
2) Если каждый член геометрической прогрессии умножить на одно и то же ненулевое число, получится геометрическая прогрессия с тем же знаменателем.
3) При возведении членов геометрической прогрессии в квадрат знаменатель также возводится в квадрат.
4) Последовательность обратных чисел к членам геометрической прогрессии (при \(x_n\ne0\)) также является геометрической.
Вернуться к содержанию учебника