Вернуться к содержанию учебника
Члены арифметической прогрессии
\(2;\ 5;\ 8;\ \dots\)
с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность \((x_n)\). Напишите формулу \(n\)-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.
Вспомните:
1) \(2;\ 5;\ 8;\ \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 3\).
\(a_1=2\)
\(a_n=2+(n-1)\cdot 3=\)
\(=2 + 3n - 3 =3n-1\).
2) Последовательность \((x_n)\):
\(2; -5; 8; -11; \dots \)
при нечётном \(n\): \(x_n=3n-1\);
при чётном \(n\): \(x_n=-(3n-1)\).
Формула \(n\) - го члена:
\[x_n=(-1)^{\,n+1}(3n-1).\]
3) Сумма 25 положительных членов последовательности:
\(2; 8; 14; \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 6\).
\(a_1 = 2\)
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)
\(S_{25(+)} = \frac{2\cdot2 + 6\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=\)
\(=\frac{4 + 6\cdot24}{2}\cdot 25=\)
\(=\frac{4 + 144}{2}\cdot 25=\frac{ ^{\color{blue}{74}} \cancel{148}\cdot25}{\cancel2}=\)
\(=74\cdot25 = 1850\).
3) Сумма 25 отрицательных членов последовательности:
\(-5; -11; -17; \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = -6\).
\(a_1 = -5\)
\(S_{25(-)} = \frac{2\cdot(-5) + (-6)\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=\)
\(=\frac{-10 - 6\cdot24}{2}\cdot 25=\)
\(=\frac{-10 - 144}{2}\cdot 25=\frac{- ^{\color{blue}{77}} \cancel{154}\cdot25}{\cancel2}=\)
\(=-77\cdot25 = -1925\).
4) \(S_{50} = S_{25(+)} + S_{25(-)} =\)
\(=1850 + (-1925) = -75\)
Ответ: \(x_n=(-1)^{\,n+1}(3n-1)\), \(S_{50} = -75\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) Противоположные числа отличаются знаком: \(x\) и \(-x\).
3) Степень числа \(-1\):
\[(-1)^{n-1}=\begin{cases} 1,& n \text{ нечётное},\\ -1,& n \text{ чётное}. \end{cases}\]
Формула последовательности.
Так как чётные члены меняют знак, а нечётные остаются без изменения, знак удобно задать с помощью степени \((-1)^{n+1}\):
\[x_n=(-1)^{n+1}(3n-1).\]
Нахождение суммы.
Чтобы найти сумму первых пятидесяти членов последовательности, сначала находим сумму первых 25 положительных членов \(S_{25(+)}\), затем находим сумму первых 25 отрицательных членов \(S_{25(-)}\), при этом используем формулу:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\).
Далее находим сумму первых пятидесяти членов последовательности:
\(S_{50} = S_{25(+)} + S_{25(-)}\).
Вернуться к содержанию учебника