Упражнение 660 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(2;\ 5;\ 8;\ \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 3\).

\(a_1=2\)

\(a_n=2+(n-1)\cdot 3=\)

\(=2 + 3n - 3 =3n-1\).

2) Последовательность \((x_n)\):

\(2; -5; 8; -11; \dots \)

при нечётном \(n\): \(x_n=3n-1\);

при чётном \(n\): \(x_n=-(3n-1)\).

Формула \(n\) - го члена:

\[x_n=(-1)^{\,n+1}(3n-1).\]

3) Сумма 25 положительных членов последовательности:

\(2; 8; 14; \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 6\).

\(a_1 = 2\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(S_{25(+)} = \frac{2\cdot2 + 6\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=\)

\(=\frac{4 + 6\cdot24}{2}\cdot 25=\)

\(=\frac{4 + 144}{2}\cdot 25=\frac{ ^{\color{blue}{74}} \cancel{148}\cdot25}{\cancel2}=\)

\(=74\cdot25 = 1850\).

3) Сумма 25 отрицательных членов последовательности:

\(-5; -11; -17; \dots\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = -6\).

\(a_1 = -5\)

\(S_{25(-)} = \frac{2\cdot(-5) + (-6)\cdot(25-1)}{2}\cdot 25=\)

\(=\frac{-10 - 6\cdot24}{2}\cdot 25=\)

\(=\frac{-10 - 144}{2}\cdot 25=\frac{- ^{\color{blue}{77}} \cancel{154}\cdot25}{\cancel2}=\)

\(=-77\cdot25 = -1925\).

4) \(S_{50} = S_{25(+)} + S_{25(-)} =\)

\(=1850 + (-1925) = -75\)

Ответ: \(x_n=(-1)^{\,n+1}(3n-1)\), \(S_{50} = -75\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) Противоположные числа отличаются знаком: \(x\) и \(-x\).

3) Степень числа \(-1\):

\[(-1)^{n-1}=\begin{cases} 1,& n \text{ нечётное},\\ -1,& n \text{ чётное}. \end{cases}\]

Формула последовательности.

Так как чётные члены меняют знак, а нечётные остаются без изменения, знак удобно задать с помощью степени \((-1)^{n+1}\):

\[x_n=(-1)^{n+1}(3n-1).\]

Нахождение суммы.

Чтобы найти сумму первых пятидесяти членов последовательности, сначала находим сумму первых 25 положительных членов \(S_{25(+)}\), затем находим сумму первых 25 отрицательных членов \(S_{25(-)}\), при этом используем формулу:

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\).

Далее находим сумму первых пятидесяти членов последовательности:

\(S_{50} = S_{25(+)} + S_{25(-)}\).

а) \(1{,}5x - x^2 \le 0\)

\(-x^2 + 1{,}5x \le 0\)

\(y=-x^2 + 1{,}5x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a=-1<0.\)

\(-x^2 + 1{,}5x=0\)

\(-x(x - 1{,}5)= 0\)

\(x = 0\)   или \(x -1{,}5=0\)

                       \(x=1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0]\cup[1,5; + \infty).\)

б) \(x^2 + x + 6 > 0\)

\(y=x^2 + x + 6 \) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2 + x + 6 =0\)

\(D = b^2-4ac=1^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(= 1 - 24 = -23<0\) - корней нет. 

Ответ: \(x\in(-\infty; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).