Упражнение 633 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((b_n)\) — последовательность, в которой

\[b_1=-3,\quad b_{k+1}=b_k+6k+3.\]

Доказать:

\[b_n=3n^2-6.\]

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(b_1=3\cdot1^2-6 = 3-6=-3\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) формула верна:

\[b_k=3k^2-6.\]

При \(n = k + 1\):

\[b_{k+1}=3(k+1)^2-6.\]

\[b_{k+1}=b_k+6k+3=\]

\[=3k^2-6+6k+3=\]

\[=3k^2+6k-3=\]

\[=(3k^2+6k + 3) - 3 - 3=\]

\[=3(k^2+2k+1)-6=\]

\[=3(k+1)^2-6.\]

Формула верна при \(n = k+1\).

Значит, \(b_n=3n^2-6\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), необходимо:

а) проверить её при \(n=1\);

б) предположить её верность при

\(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).

2) Формула квадрата суммы:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

3) Подстановка выражения вместо переменной в рекуррентную формулу.

База индукции.

Подставляем \(n=1\) в предполагаемую формулу:

\[b_1=3\cdot 1^2-6=-3.\]

Это совпадает с заданным первым членом последовательности, значит база выполнена.

Индукционный переход.

Предполагаем, что для некоторого номера \(k\) член последовательности вычисляется по формуле

\[b_k=3k^2-6.\]

Следующий член по условию задачи равен

\[b_{k+1}=b_k+6k+3.\]

Подставляем вместо \(b_k\) выражение из индукционного предположения:

\[b_{k+1}=3k^2-6+6k+3.\]

Приводим подобные члены:

\[3k^2+6k-3.\]

Замечаем, что выражение в скобках можно представить как квадрат суммы:

\[k^2+2k+1=(k+1)^2.\]

Тогда:

\[3k^2+6k-3=3(k+1)^2-6.\]

То есть формула верна и для номера \(k+1\).

Вывод.

Так как формула верна при \(n=1\) и из её верности при \(n=k\) следует верность при \(n=k+1\), то последовательность \((b_n)\) при любом натуральном \(n\) задаётся формулой

\[b_n=3n^2-6.\]

Что и требовалось доказать.

а) \(b_1 = 125,\ b_3 = 5\);

\(b_n = b_1\cdot q^{n-1}\).

\(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).

\(5 = 125\cdot q^2\).

\(q^2 = \dfrac{5}{125} = \dfrac{1}{25}\).

\(q = \dfrac{1}{5}\) или \(q = -\dfrac{1}{5}\).

\(b_6 = 125\cdot q^{6-1} = 125\cdot q^5\).

\(b_6 = 125\cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^5 = \dfrac{1}{25}\);

или

\(b_6 = 125\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^5 = -\dfrac{1}{25}\).

Ответ: \(b_6=\pm\frac{1}{25}.\)

б)  \(b_1 = -\dfrac{2}{9},\ b_3 = -2\);

\(|b_2|=\sqrt{b_1\cdot b_3}=\sqrt{-\frac{2}{9}\cdot(-2)}=\)

\(=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac23\)

\(b_2=\frac23\)     или    \(b_2=-\frac23\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}.\)

Тогда:

\(q=\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=-\frac23\cdot\frac92=-3\)

или

\(q=-\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=\frac23\cdot\frac92=3.\)

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot q^{7-1} = -\dfrac{2}{9}\cdot q^6\).

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot3^6 = -162;\)

или

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^6 = -162.\)

Ответ: \(b_7=-162.\)

в) \(b_4 = -1,\ b_6 = -100\)

\(|b_5|=\sqrt{b_4\cdot b_6}=\sqrt{-1\cdot(-100)}=\)

\(=\sqrt{100}=10\)

\(b_5 =10\)    или   \(b_5 =-10.\) 

\(q=\frac{b_5}{b_4}.\)

Тогда:

\(q=\frac{10}{-1}=-10\)

или

\(q=\frac{-10}{-1}=10.\)

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_4 = b_1\cdot q^{4-1}\).

\(b_1 = \dfrac{b_4}{q^3}\).

\(b_1 = \dfrac{-1}{10^3} = -\dfrac{1}{1000}=-0,001;\)

или

\(b_1 = \dfrac{-1}{(-10)^3} = \dfrac{1}{1000}=0,001.\)

Ответ: \(b_1 =\pm0,001.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)