Вернуться к содержанию учебника
Пусть \((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\). Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
Вспомните:
\((u_n)\) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. \(u_1=1\), \(u_2=1\), \(u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\) при \(n\ge 2\).
Доказать:
а) \(u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}\);
б) \(u_1^2+u_2^2+u_3^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}\).
Доказательство:
а) 1) При \(n=1\):
\(u_1 = u_{2\cdot1}=u_2 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}+u_{2(k + 1)-1}=u_{2k}+u_{2(k + 1)-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 2-1}=\)
\(=u_{2k}+u_{2k + 1}=u_{2k + 2}=u_{2(k + 1)}\).
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
б) 1) При \(n=1\):
\[u_1^2=u_1\cdot u_{1+1}\]
\[u_1^2=u_1\cdot u_{2}\]
\[1^2=1\cdot 1.\]
\(1 = 1\) - верно.
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\[u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}.\]
При \(n = k+1\):
\(u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2=\)
\(=u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2=\)
\[=u_{k+1}(u_k+u_{k+1})=\]
\[=u_{k+1}\cdot u_{k+2}.\]
Свойство верно при \(n = k + 1\), значит, последовательность обладает этим свойством при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Математическая индукция:
Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:
а) доказать (или проверить) его при \(n=1\);
б) предположить верность при \(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).
Вернуться к содержанию учебника