Упражнение 634 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 182

\((a_n)\) - последовательность, в которой

\[a_1=-5,\quad a_{k+1}=a_k+10k+5,\]

Доказать:

\[a_n=5n^2-10.\]

Доказательство:

1) При \(n=1\):

\(a_1=5\cdot1^2-10 = 5 - 10 = - 5\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) формула верна:

\[a_k=5k^2-10.\]

При \(n = k + 1\):

\[a_{k+1}=5(k+1)^2-10.\]

\[a_{k+1}=a_k+10k+5=\]

\[=5k^2-10+10k+5=\]

\[=5k^2+10k-5=\]

\[=(5k^2+10k+5)-5-5=\]

\[=5(k^2+2k+1)-10=\]

\[=5(k+1)^2-10.\]

Формула верна при \(n=k+1\).

Значит, \(a_n=5n^2-10\) при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), необходимо:

а) проверить её при \(n=1\);

б) предположить её верность при

\(n=k\) и доказать при \(n=k+1\).

2) Формула квадрата суммы:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

3) Подстановка выражения вместо переменной в рекуррентную формулу.

База индукции.

Подставляем \(n=1\) в предполагаемую формулу:

\[a_1=5\cdot 1^2-10=-5.\]

Это совпадает с заданным первым членом последовательности, значит база выполнена.

Индукционный переход.

Предполагаем, что для некоторого номера \(k\) член последовательности вычисляется по формуле

\[a_k=5k^2-10.\]

Следующий член по условию задачи равен

\[a_{k+1}=a_k+10k+5.\]

Подставляем вместо \(a_k\) выражение из индукционного предположения:

\[a_{k+1}=5k^2-10+10k+5.\]

Приводим подобные члены:

\[5k^2+10k-5.\]

Замечаем, что выражение в скобках можно представить как квадрат суммы:

\[k^2+2k+1=(k+1)^2.\]

Тогда:

\[5k^2+10k-5=5(k+1)^2-10.\]

То есть формула верна и для номера \(k+1\).

Вывод.

Так как формула верна при \(n=1\) и из её верности при \(n=k\) следует верность при \(n=k+1\), то последовательность \((a_n)\) при любом натуральном \(n\) задаётся формулой

\[a_n=5n^2-10.\]