Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).
Вспомните:
Доказать, что разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).
Доказательство:
1) При \(n=1\):
\(49^1-1=49-1=48\) - что кратно \(48\).
2) Пусть при \(n = k\) верно то, что:
\(49^k-1\) кратно \(48\), то есть
\(49^k-1 = 48m\).
При \(n = k + 1\):
\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1=\]
\(=(49\cdot 49^k - 49) + 49 -1 =\)
\[=49\cdot(49^k-1)+48=\]
\[=49\cdot 48m+48=\]
\(=48\cdot(49m+1)\) - кратно 48.
\(49^{k+1}-1\) кратно \(48\), значит, \(49^n-1\) кратно \(48\) при любом натуральном \(n\).
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Математическая индукция. Если утверждение верно при \(n=1\) и из его верности при \(n = k\) следует верность при \(n = k+1\), то оно верно для всех натуральных \(n\).
2) Определение кратности: число \(A\) кратно числу \(B\), если существует целое число \(m\), такое что \(A=Bm\).
База индукции.
При \(n=1\) разность \(49^1-1\) равна \(48\), а \(48\) делится на \(48\) без остатка. Следовательно, утверждение верно при \(n=1\).
Индукционный переход.
Предположим, что при некотором натуральном \(n=k\) число \(49^k-1\) делится на \(48\), то есть
\[49^k-1=48m.\]
Рассмотрим выражение для следующего показателя степени \(n = k+1\):
\[49^{k+1}-1=49\cdot 49^k-1.\]
Прибавим и вычтем \(49\):
\[49\cdot 49^k-49+48=49\cdot(49^k-1)+48.\]
Подставляя индукционное предположение, получаем:
\[49\cdot(49^k-1)+48=49\cdot 48m+48.\]
Выносим \(48\) за скобки:
\[48\cdot(49m+1).\]
Так как \(49m+1\) — целое число, то всё выражение делится на \(48\).
Вывод.
Так как выполнены база и индукционный переход, то разность \(49^n-1\) кратна \(48\) при любом натуральном \(n\).
Вернуться к содержанию учебника