Упражнение 372 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-5)^2 + (y-7)^2 = r^2\)

\((5; 7)\) - центр окружности.

Касается оси \(x\):

\((5; 0)\) - точка касания.

\((5-5)^2 + (0-7)^2 = r^2\)

\(0^2 + (-7)^2 = r^2\)

\(7^2 = r^2\)

\(r = 7\)

Ответ: при \(r = 7\).

б) \((x-5)^2 + (y-7)^2 = r^2\)

\((5; 7)\) - центр окружности.

Касается оси \(y\):

\((0; 7)\) - точка касания.

\((0-5)^2 + (7-7)^2 = r^2\)

\((-5)^2 + 0^2 = r^2\)

\(5^2 = r^2\)

\(r = 5\)

Ответ: при \(\;r = 5.\)

Пояснения:

Общий вид уравнения окружности:

\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\),

где \((a; b)\) - координаты центра окружности, \(r\) - ее радиус.

а) Если окружность касается оси \(x\), то точка касания имеет координаты \((a; 0)\). Подставляя координаты точки касания в уравнение окружности находим значение \(r\).

б) Если окружность касается оси \(y\), то точка касания имеет координаты \((0; b)\). Подставляя координаты точки касания в уравнение окружности находим значение \(r\).

а) \(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15\)

ОДЗ: \(x - 2 \ne 0\)  и  \(x + 1 \ne 0\)

         \(x \ne 2\)              \(x \ne -1\)

Пусть \(t = \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 \ge 0\), тогда

\(\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).

\(t - 16\cdot\dfrac{1}{t} = 15\)   \(/\times t\)

\(t^2 - 16 = 15t\)

\(t^2 - 15t - 16 = 0\)

\(D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot (-16) =\)

\(=225 + 64 = 289 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{289} = 17.\)

\(t_{1} = \dfrac{15 + 17}{2\cdot1} = \dfrac{32}{2} = 16\).

\(t_{2} = \dfrac{15 - 17}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\)

Если \(t = 16\), то

\(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16\)

\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm\sqrt{16}\)

\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm4\)

1) \(\dfrac{x+1}{x-2} = 4 \)  \(/\times (x-2)\)

\(x+1 = 4(x - 2)\)

\(x+1 = 4x - 8\)

\(x - 4x = -8 - 1\)

\(-3x = -9 \)

\(x = \frac{-9}{-3}\)

\(x = 3\)

2) \(\dfrac{x+1}{x-2} = -4\) \(/\times (x-2)\)

\(x+1 = -4(x - 2) \)

\(x+1 = -4x + 8 \)

\(x + 4x = 8 - 1\)

\(5x = 7 \)

\(x = \dfrac{7}{5}\)

\(x = 1,4\)

Ответ: \(x = 3,\; x = 1,4\).

б) \(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8\)

Пусть \(t = \left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2\), тогда

\(\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).

\(t - 9\cdot\dfrac{1}{t} = 8\)   \(/\times t\)

\(t^2 - 9 = 8t\)

\(t^2 - 8t - 9 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)

\(=64 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{100} = 10\).

\(t_{1} = \dfrac{8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{18}{2} = 9\).

\(t_{2} = \dfrac{8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\).

Если \(t = 9 \), то

\(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9\)

\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm\sqrt{9}\)

\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm3\)

1) \(\dfrac{x+3}{x-5} = 3 \)   \(/\times (x - 5)\)

\(x+3 = 3(x - 5) \)

\(x+3 = 3x - 15 \)

\(x - 3x = -15 - 3\)

\(-2x = -18 \)

\(x = \frac{-18}{-2}\)

\(x = 9\)

2) \(\dfrac{x+3}{x-5} = -3 \)

\(x+3 = -3x + 15 \)

\(x + 3x = 15 - 3\)

\(4x = 12\)

\(x = \dfrac{12}{4}\)

\( x = 3\)

Ответ: \(x = 9,\; x = 3.\)

Пояснения:

В обоих уравнениях дроби вида \(\dfrac{x+1}{x-2}\) и \(\dfrac{x-2}{x+1}\), а также \(\dfrac{x+3}{x-5}\) и \(\dfrac{x-5}{x+3}\) являются взаимно обратными: произведение каждой пары равно 1. Поэтому удобно ввести подстановку \( t\) и \(\dfrac{1}{t}\), учитывая то, что каждая дробь дана во второй степени, должно выполняться условие \(t \ge 0\).

После подстановки получаем дробно-рациональные уравнения относительно переменной \(t\), которые после умножения на \(t\) превращаются в квадратные уравнения вида \(at^2 + bt + c = 0\), которые решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

В каждом случае один из корней получился отрицательным, что не удовлетворяет условию \(t \ge 0\), поэтому эти корни исключаем.

Далее возвращаемся к переменной \(x\) и имеем уравнения вида \(y^2 = t\), откуда \(y = \pm\sqrt t\), то есть в каждом случае получаем по два дробно-рациональных уравнения относительно переменной \(x\), решив которые получаем по 2 корня уравнения, удовлетворяющих ОДЗ.