Упражнение 314 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(40 + \sqrt{x + 2} = x^2 + 6x + \sqrt{x + 2}\)

ОДЗ:  \(x + 2 \ge0\)

          \(x \ge -2\)

\(40 + \cancel{\sqrt{x + 2}} - x^2 - 6x - \cancel{\sqrt{x + 2}}=0\)

\(-x^2 - 6x + 40 = 0\)    \(/\times (-1)\)

\(x^2 + 6x - 40 = 0\)

\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = \)

\(=36 + 160 = 196 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{196} = 14\).

\(x_1 = \dfrac{-6 + 14}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(x_2 = \dfrac{-6 - 14}{2\cdot1} = \dfrac{-20}{2} = -10\) - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Чтобы уравнение с корнями имело смысл, требуется область допустимых значений переменной \(x\) (ОДЗ): подкоренное выражение не может быть отрицательно, то есть \[x + 2 \ge0 \Rightarrow x \ge -2. \]

2. Если в уравнении одинаковые выражения находятся по обе стороны знака равенства, их можно перенести и сократить, если это возможно.

3. Квадратное уравнение вида \[ ax^2 + bx + c = 0 \] решается через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Пояснение решения:

В уравнении присутствует \(\sqrt{x+2}\) слева и справа. Переносим выражение из правой части уравнения влево. Корни сокращаются, остаётся:

\(x^2 + 6x - 40 = 0.\)

Через дискриминант решаем полученное квадратное уравнение и находим корни \(4\) и \(-10\).

Проверяем подходят ли корни области допустимых значений (ОДЗ). Число \(-10\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому уравнение имеет единственный верный корень: \[ x = 4. \]

а) \(y = \sqrt{12x - 3x^2}\)

\(12x - 3x^2 \ge 0\)

\(y = -3x^2 + 12x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 3 < 0\).

\(-3x^2 + 12x = 0\)

\(-3x(x-4)=0\)

\(-3x=0\)   или   \(x - 4 = 0\)

\(x = 0\)                  \(x = 4\)

Ответ: \(x \in [0; 4]\).

б) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}\)

\(2x^2 - 12x + 18 > 0\)

\(y = 2x^2 - 12x + 18\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 - 12x + 18 = 0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x - 3)^2 = 0\)

\(x - 3 =0\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

Пояснения:

Общие правила.

1. Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательно:

\[\sqrt{A} \text{ определён} \iff A \ge 0.\]

2. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю:

\[\frac{1}{B} \text{ определена} \iff B \ne 0.\]

3. Если в знаменателе стоит корень \(\sqrt{A}\), то нужно одновременно: \(\sqrt{A}\ne 0\) и \(A \ge 0\), то есть \(A>0\).

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) при поиске корней использовали разложение на множители, и учитывали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

В пункте б) применили формулу квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2\).