Упражнение 310 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(10x^{4} - 77x^{3} + 150x^{2} - 77x + 10 = 0\) \(/ : x^{2}\), \(x \neq 0\).

\(10x^{2} - 77x + 150 - \frac{77}{x} + \frac{10}{x^2} = 0\)

\( 10\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 77\left(x + \frac{1}{x}\right) + 150 = 0\)

Пусть: \( x + \frac{1}{x} = t, \) тогда

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)

\(x^2 + 2\cdot\frac{1}{\cancel x} \cdot \cancel x + \left(\frac1x\right)^2 = t^2\)

\(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = t^2\)

\[ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2. \]

\[ 10(t^{2} - 2) - 77t + 150 = 0 \]

\[ 10t^{2} - 20 - 77t + 150 = 0, \]

\[ 10t^{2} - 77t + 130 = 0. \]

\( D = (-77)^{2} - 4\cdot 10 \cdot 130 =\)

\(=5929 - 5200 = 729 > 0\) - 2 корня.

\[ \sqrt{729} = 27. \]

\( t_{1} = \frac{77 + 27}{2\cdot10} = \frac{104}{20} = \frac{26}{5}. \)

\( t_{2} = \frac{77 - 27}{2\cdot10} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}. \)

1) Если \(t =\frac{26}{5}\), то

\( x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5} \)    \(/\times 5x\)

\( 5x^{2} + 5 = 26x\)

\( 5x^{2} - 26x + 5 = 0 \)

\( D = (-26)^{2} - 4\cdot 5 \cdot 5 =\)

\(=676 - 100 = 576 > 0\) -2 корня.

\(\sqrt{576} = 24. \)

\( x_1 = \frac{26 + 24}{10}= \frac{50}{10} = 5,\)

\( x_2 = \frac{26 - 24}{10}= \frac{2}{10} = 0,2.\)

2) Если \(t = \frac{5}{2}\), то

\( x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \)   \(/\times 2x\)

\(2x^2 + 2 = 5x\)

\( 2x^{2} - 5x + 2 = 0\)

\( D = (-5)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 2 =\)

\(=25 - 16 = 9>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{9} = 3. \)

\( x_1 = \frac{5 + 3}{2\cdot2}=\frac84=2,\)

\( x_2 = \frac{5 - 3}{2\cdot2}=\frac24=0,5.\)

Ответ: \( 5; \, 0,2; \, 2; \, 0,5. \)

Пояснения:

Возвратное уравнение имеет симметричные коэффициенты, поэтому уравнение делят на \(x^2\), учитывая то, что \(x \neq 0\), а затем  удобно ввести замену \(x + \frac{1}{x} = t\), что приводит к квадратному уравнению относительно \(t\).

Решив квадратное уравнение относительно \(t\) получили 2 корня, поэтому возвращаясь к замене получаем два дробно-рациональных уравнения, домножив каждое из которых на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем два квадратных уравнения относительно \(x\), каждое из которых даёт по два корня.

Решаем квадратные уравнения через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

а) \(3x^2 + bx + 3 = 0\)

\(D = b^2 - 4\cdot 3 \cdot 3 = b^2 - 36\)

\(b^2 - 36 > 0\)

\(y = b^2 - 36\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(b^2 - 36 = 0\)

\(b^2 = 36\)

\(b = \pm \sqrt {36}\)

\(b = \pm6\)

Ответ: \(b \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)\).

б) \(x^2 + 2bx + 15 = 0\)

\(D = (2b)^2 - 4\cdot 1 \cdot 15 =\)

\(=4b^2 - 60.\)

\(4b^2 - 60 > 0\)

\(y = 4b^2 - 60\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(4b^2 - 60 = 0\)

\(4b^2 = 60\)

\(b^2 = \frac{60}{4}\)

\(b^2 = 15\)

\(b = \pm \sqrt{15}\)

Ответ: \(b \in (-\infty; -\sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}; +\infty)\).

Пояснения:

Основное правило:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет два различных корня, если дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac > 0.\]

Решение неравенств вида

\(ax^2 + с > 0\):

1) находим корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).