Упражнение 308 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{3} + 11x - 108 = 0\)

\(\pm1; \pm2; \pm3; \pm4; \pm6; \dots\) - делители числа 108.

Если \(x= 1\), то

\(1^{3} + 11\cdot1 - 108 = 0\)

\(1 + 11 - 108 = 0\)

\(-96 = 0\) - неверно.

Если \(x= 2\), то

\(2^{3} + 11\cdot2 - 108 = 0\)

\(8 + 22 - 108 = 0\)

\(-78 = 0\) - неверно.

Если \(x= 3\), то

\(3^{3} + 11\cdot3 - 108 = 0\)

\(27 + 33 - 108 = 0\)

\(-48 = 0\) - неверно.

Если \(x = 4\), то

\( 4^{3} + 11\cdot 4 - 108 = 0\)

\(64 + 44 - 108 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 4\) — корень уравнения.

\(x^{3} = -11x + 108 \)

\(y = x^3\) - возрастающая функция.

\(y = -11x + 108 \) - убывающая функция.

\(x = 4\) - единственный корень.

Ответ: \(x = 4\).

б) \(x^{5} + 6x + 44 = 0\)

\(\pm1; \pm2; \pm4; \dots\) - делители числа 44.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{5} + 6\cdot(-1) + 44 = 0\)

\(-1 - 6 + 44 = 0\)

\(37 = 0\) - неверно.

Если \(x = -2\), то

\( (-2)^{5} + 6(-2) + 44 =0\)

\(-32 - 12 + 44 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = -2\) — корень уравнения.

\(x^{5} = -6x - 44\)

\(y = x^5\) - возрастающая функция.

\(y = -6x - 44\) - убывающая функция.

\(x = -2\) — единственный корень.

Ответ: \(x = -2\).

Пояснения:

Для многочленов с целыми коэффициентами часто ищут целые корни среди делителей свободного члена.

В каждом случае определили целый корень из делителей свободного члена, а затем каждое уравнение представили в виде равенства двух функций, одна из которых является возрастающей, а другая - убывающей. Возрастающая и убывающая функции могут пресекаться только в одной точке, а это говорит о том, что рассматриваемые уравнения имеют единственный корень, который мы нашли среди делителей свободного члена.

а) \(x^2 < 16\)

\(x^2 - 16 < 0\)

\(y =x^2 -16\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(x^2 - 16 = 0\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm \sqrt {16}\)

\(x = \pm4\)

Ответ: \(x \in (-4; 4)\).

б) \(x^2 \ge 3\)

\(x^2 - 3 \ge 0\)

\(y = x^2 - 3\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(x^2 - 3 = 0\)

\(x^2 = 3\)

\(x = \pm \sqrt3\)

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\sqrt3\right] \cup \left[\sqrt3; +\infty\right)\).

в) \(0{,}2x^2 > 1{,}8\)

\(0{,}2x^2 - 1{,}8 > 0\)

\(y = 0{,}2x^2 - 1{,}8 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 0,2 > 0\).

\(0{,}2x^2 - 1{,}8 = 0\)

\(0{,}2x^2 = 1{,}8 \)

\(x^2 = \frac{1,8}{0,2}\)

\(x^2 = \frac{18}{2}\)

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm \sqrt9\)

\(x = \pm3\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\).

г) \(-5x^2 \le x\)

\(-5x^2 - x \le 0\)

\(y = -5x^2 - x \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -5 < 0\).

\(-5x^2 - x = 0\)  \(/\times(-1)\):

\(5x^2 + x = 0\)

\(x(5x + 1) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(5x + 1 = 0\)

                       \(5x = -1\)

                       \( x = -\dfrac{1}{5}\)

                       \( x = -0,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,2] \cup [0; +\infty)\).

д) \(3x^2 < -2x\)

\(3x^2 + 2x < 0\)

\(y = 3x^2 + 2x \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\).

\(3x^2 + 2x =0\)

\(x(3x + 2) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(3x + 2 = 0\)

                       \(3x = - 2\)

                       \(x = -\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(х\in \left(-\frac23; 0\right)\).

е) \(7x < x^2\)

\(7x - x^2 < 0\)

\(y = 7x - x^2\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(7x - x^2 = 0\)

\(x(7 - x) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(7 - x = 0\)

                       \(x = 7\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (7; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx > 0\), \(ax^2 + bx < 0\),

\(ax^2 + c > 0\), \(ax^2 + c < 0\):

1) находим корни уравнений

\(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx > 0\) или \(ax^2 + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx < 0\) или \(ax^2 + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).