Упражнение 301 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0\)

Числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\) не являются корнями, так как они не являются делителями числа \(98\).

1) \(x=1\) - не является корнем.

\(1-1-51+49+98=0\)

\(96=0 \) - неверно.

2) \(x=-1\) - является корнем.

\(1+1-51-49+98=0\)

\(0=0\) - верно.

3) \(x=2\) - является корнем.

\(16-8-51\cdot4+49\cdot2+98 =0\)

\(16 - 8 - 204 + 98 + 98 = 0\)

\(0=0\) - верно.

4) \(x=-2\) - не является корнем.

\(16+8-51\cdot4-49\cdot2+98 =0\)

\(16 + 8-204-98+98=0\)

\(-180=0\) - неверно.

5) \(x=7\) - является корнем.

\(7^4-7^3-51\cdot7^2+49\cdot7+98 =0\)

\(2401-343-51\cdot49+343+98=0 \)

\( 2401-343-2499+343+98=0\)

\((2401-2499)+(-343+343)+98=0\)

\(-98+0+98=0\)

\(0=0\) - верно.

6) \(x=-7\) - является корнем.

\(2401+343-51\cdot49-49\cdot7+98 =0\)

\(2401+343-2499-343+98 =0\)

\(2744-2499-343+98 =0\)

\(245-343+98=0\)

\(-98+98=0\)

\(0 = 0 \) - верно.

Ответ: корнями уравнения являются:

\(-1;\quad 2;\quad 7;\quad -7. \)

Пояснения:

Если многочлен \[ x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 \] имеет целый корень \(x_0\), то подстановка \(x=x_0\) даёт делимость свободного члена на этот корень. Поэтому любой целый корень обязан быть делителем свободного члена \(98\). Это сразу исключает числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\)), так как 98 на них не делится нацело.

После отбора возможных корней (делителей 98) их просто подставляют в многочлен и считают значение. Если получается верное числовое равенство \(0 = 0\), то \(x_0\) — корень. Так нашли корни \(-1, 2, 7, -7\), а числа \(1\) и \(-2\) при подстановке ноль не дают и поэтому корнями не являются.

Многочлен четвёртой степени может иметь не более четырёх действительных корней. Мы нашли четыре различных корня из списка, значит других действительных корней у него нет.

а) \(\dfrac{12 - 5x - 2x^{2}}{15 - 10x}\)

\( 12 - 5x - 2x^{2} =0\)

\(-2x^{2} - 5x + 12 =0\)   \(/\times (-1)\)

\(2x^{2} + 5x - 12 =0\)

\(a = 2\),  \(b = 5\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=5^2 - 4\cdot2\cdot(-12)=\)

\(=25 + 96 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 11\).

\(x_{1} = \frac{-5 + 11}{2\cdot2}=\frac{6}{4} = \frac32 = 1,5.\)

\(x_{2} = \frac{-5 - 11}{2\cdot2}=\frac{-16}{4} = -4.\)

\(-2x^{2} - 5x + 12 =\)

\(=-2(x - 1,5)(x + 4)=\)

\(=-(2x - 3)(x+4)\).

\(\dfrac{12 - 5x - 2x^{2}}{15 - 10x} = \frac{-\cancel{(2x - 3)}(x + 4)}{-5\cancel{(2x - 3)}}=\)

\( = \frac{x + 4}{5}. \)

Ответ: \(\dfrac{x + 4}{5}\).

б) \(\dfrac{3x^{2} - 36x - 192}{x^{2} - 256}\)

\( 3x^{2} - 36x - 192 =0\)    \(/ : 3\)

\(x^{2} - 12x - 64 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = -64\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot(-64)=\)

\(=144 + 256 = 400 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 20\).

\(x_{1} = \frac{12 + 20}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16.\)

\(x_{2} = \frac{12 - 20}{2\cdot1}=\frac{-8}{2} = -4.\)

\( 3x^{2} - 36x - 192 = 3(x - 16)(x + 4). \)

\(\dfrac{3x^{2} - 36x - 192}{x^{2} - 256}=\)

\(=\dfrac{3\cancel{(x - 16)}(x + 4)}{\cancel{(x - 16)}(x + 16)}=\)

\(=\dfrac{3(x + 4)}{(x + 16)} =\dfrac{3x + 12}{(x + 16)} \)

Ответ: \(\dfrac{3(x + 4)}{x + 16}\).

Пояснения:

1. Для сокращения дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Это выполняется с помощью вынесения общего множителя или разложения квадратных трёхчленов дискриминант на множители по формуле:

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

2. После разложения в каждом примере появляется общий множитель, который можно сократить, поскольку мы работаем с рациональными выражениями (при условии, что этот множитель не обращается в ноль).