Упражнение 280 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x^{2}-2x-8<0,\\ x^{2}-9<0; \end{cases} \)

1) \( x^{2}-2x-8<0\)

\(y = x^{2}-2x-8\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}-2x-8=0\)

 \(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4+32 =36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {36}= 6\)

\(x_1=\frac{2+6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2=\frac{2-6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

2) \( x^{2}-9<0\)

\(y = x^{2}-9\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}-9 =0\)

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm3\)

Ответ: \(x \in (-2; 3)\).

б) \( \begin{cases} 2x^{2}-13x+6<0,\\ x^{2}-4x>0 \end{cases} \)

1) \( 2x^{2}-13x+6<0\)

\(y= 2x^{2}-13x+6\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^{2}-13x+6 = 0\)

\(D=(-13)^{2}-4\cdot2\cdot6=\)

\(=169-48=121 >0\) - 2 корня.

\(\sqrt {121} = 11\)

\( x_{1}=\frac{13-11}{2\cdot2}=\frac24=0,5,\)

\(x_{2}=\frac{13+11}{2\cdot2}=\frac{24}{4} = 6\).

2)  \(x^{2}-4x>0\)

\(y = x^2 - 4x\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}-4x=0\)

\(x(x-4) =0\)

\(x=0\)   или   \(x-4 = 0\)

                       \(x = 4\)

Ответ: \(x \in (4; 6)\).

в) \( \begin{cases} x^{2}-6x-16>0,\\ x^{2}+2x-120<0 \end{cases} \)

1) \(x^{2}-6x-16>0\)

\(y = x^{2}-6x-16\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}-6x-16 = 0\)

\(D=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-16)=\)

\(=36+64=100 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt {100} = 10\).

\(x_{1}=\frac{6 - 10}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\).

\(x_{1}=\frac{6 + 10}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8\).

2) \(x^{2}+2x-120<0\)

\(y = x^{2}+2x-120\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}+2x-120 = 0\)

\(D=2^{2}-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4+480=484 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {484} = 22\)

\(x_{1}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12\).

\(x_{2}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

Ответ: \(x \in (-12; -2) \cup (8; 10)\).

г) \( \begin{cases} 3x^{2}+x-2\le0,\\ x^{2}+4x-12\le0 \end{cases} \)

1) \(3x^{2}+x-2\le0\)

\(y = 3x^{2}+x-2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(3x^{2}+x-2 = 0\)

\(D= 1^2 - 4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25 > 0 \) - 2 корня.

\(x_{1}=\frac{-1-5}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1\).

\(x_{2}=\frac{-1+5}{2\cdot3}=\frac{4}{6}=\frac23\).

2) \( x^{2}+4x-12\le0\)

\(y = x^{2}+4x-12\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}+4x-12 = 0\)

\(D=4^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =16+48=64 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1}=\frac{-4-8}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6\).

\(x_{2}=\frac{-4+8}{2\cdot1}=\frac{4}{2\cdot1}=2\).

Ответ: \(x \in [-1; \frac23]\).

д) \( \begin{cases} 2x^{2}+4x+15\ge0,\\ x^{2}-9x+8\le0 \end{cases} \)

1) \( 2x^{2}+4x+15\ge0\)

\(y = 2x^{2}+4x+15\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^{2}+4x+15 = 0\)

\(D=4^{2}-4\cdot2\cdot15=\)

\(=16-120=-104<0\) - корней нет, значит, \(x\) - любое число.

2) \( x^{2}-9x+8\le0\)

\(y = x^{2}-9x+8\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^{2}-9x+8 = 0\)

\(D=(-9)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\(=81-32=49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 7\)

\( x_{1}=\frac{9-7}{2\cdot1}=\frac22=1\)

\(x_{2}=\frac{9+7}{2\cdot1} = \frac{16}{2}=8 \).

Ответ: \(x \in [1;8]\).

е) \( \begin{cases} 2x^{2}+5x-3<0,\\ 3x^{2}+x+11<0 \end{cases} \)

1) \( 2x^{2}+5x-3<0\)

\(y = 2x^{2}+5x-3\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^{2}+5x-3 = 0\)

\(D=5^{2}-4\cdot2\cdot(-3)=\)

\(=25+24=49 > 0 \) - 2 корня.

\(x_{1}=\frac{-5-7}{2\cdot2} = \frac{-12}{4}=-3\).

\(x_{2}=\frac{-5+7}{2\cdot2} = \frac{2}{4}=0,5\). 

2) \( 3x^{2}+x+11<0\)

\(y= 3x^{2}+x+11\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(3x^{2}+x+11 = 0\)

\(D=1-4\cdot3\cdot11=\)

\(=1-132=-131<0,\ a=3>0, \) - корней нет, значит неравенство не имеет решения, тогда и система неравенств не имеет решений.

Ответ: решений нет.

---

Пояснения:

Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений всех неравенств системы. Поэтому после нахождения промежутков для каждого неравенства мы строим их пересечение, как это сделано для пунктов а)–е).

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

В пункте д) первое неравенство выполняется при любом \(x\), так как дискриминант отрицательный и \(a>0\); значит, на итоговое решение влияет только второе неравенство.

В пункте е) наоборот: второе неравенство невозможно выполнить ни при каком \(x\), поэтому система не имеет решений.

а) \(y = x^{4} - 5x^{2} + 4\)

С осью \(y\): \(x = 0\):

\(y=0^4 - 5\cdot0^2 + 4 = 4\).

\((0;\,4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

C осью \(x\): \(y =0\)

\(x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0.\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 5t + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot 4 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 3.\)

\( t_{1} = \frac{5 + 3}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4.\)

\( t_{2} = \frac{5 - 3}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1.\)

1) Если \(t = 4\), то

\(x^{2} = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

2) Если \(t = 1\), то

\(x^{2} = 1 \)

\(x = \pm \sqrt1\)

\(x = \pm 2\)

\((-2,\,0),\; (-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,4),\) \((-2,\,0),\)

\((-1,\,0),\; (1,\,0),\; (2,\,0).\)

б) \(y = x^{4} + 3x^{2} - 10\)

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(y = 0^4 + 3\cdot0^2 - 10 = -10\).

\((0;\,-10)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\)

\(x^{4} + 3x^{2} - 10 = 0.\)

Пусть \( x^{2} = t \ge 0\):

\(t^{2} + 3t - 10 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -10\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot (-10) =\)

\(=9 + 40 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{-3 +7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2.\)

\( t_{2} = \frac{-3 -7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 2\), то

\(x^{2} = 2 \)

\(x = \pm \sqrt{2}\)

\((-\sqrt{2},0)\), \((\sqrt{2},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,-10),\) \((-\sqrt{2},0)\),

\((\sqrt{2},0).\)

в) \(y = x^{4} - 20x^{2} + 100\)

С осью \(y\): \(x=0\).

\(y = 0^4 - 20\cdot 0^2 + 100 =100\).

\((0;\,100)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(x^{4} - 20x^{2} + 100 = 0\)

\(x^{2} = t\)

\(t^{2} - 20t + 100 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -20\),  \(c = 100\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-20)^2 - 4\cdot1\cdot 100 =\)

\(=400 - 400 = 0\) - уравнение имеет 1 корень.

\(t = \frac{-b}{2a} = \frac{20}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10.\)

\(x^{2} = 10 \)

\(x = \pm \sqrt{10}\)

\((-\sqrt{10},0)\), \((\sqrt{10},0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,100),\) \((-\sqrt{10},0),\)

\((\sqrt{10},0).\)

г) \(y = 4x^{4} + 16x^{2}\)

С осью \(y\): \(x = 0\)

\(y= 4\cdot0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0\).

\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\): \(y = 0\)

\(4x^{4} + 16x^{2} = 0\)

\(4x^{2}(x^{2} + 4) = 0\)

\(x^{2} = 0 \)  или  \(x^{2} + 4 = 0\)

\(x = 0\)            \(x^{2} = -4\) - нет корней.

\((0;\,0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \((0;\,0).\)

---

Пояснения:

Для нахождения точки пересечения с осью \(Oy\) всегда подставляют \(x = 0\), потому что любая точка этой оси имеет вид \((0, y)\).

Для пересечения с осью \(Ox\) подставляют \(y = 0\), так как точки оси \(Ox\) имеют вид \((x, 0)\). Это всегда приводит к решению уравнения, полученного от правой части функции.

В данных задачах все уравнения являются биквадратными.

1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену

\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]

которое решаем через дискриминант:

\(D =b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).