Упражнение 278 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 92

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) (\(x > 0\)), тогда большая сторона равна \(x + 7\).

Площадь прямоугольника:

\( x(x + 7)\).

Составим неравенство:

\(x(x + 7) \le 60\).

\(x^2 + 7x \le 60\)

\(x^2 + 7x - 60 \le 0\)

\(y = x^2 + 7x - 60\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 7x - 60 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot(-60) =\)

\(=49 + 240 = 289 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{289} = 17\)

\(x_1 = \dfrac{-7 - 17}{2} = \dfrac{-24}{2}= -12\)

\(x_2 = \dfrac{-7 + 17}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\)

\(x \in [-12; 5]\)

По условию \(x > 0\), поэтому

\(x \in (0; 5]\)

Ответ: меньшая сторона прямоугольника больше 0, но меньше 5 см.

Пояснения:

Основные правила.

1. Если площадь \(x(x+7)\le 60\), то получаем квадратное неравенство.

2. Для квадратного трёхчлена

\(ax^2+bx+c\) вычисляют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\), который получается больше нуля и находят корни:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

3. отмечаем корни на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\).

4. находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси \(x\) и на оси \(x\).

5. так как речь идёт о длине, значение должно быть положительным, поэтому из полученного промежутка берем только положительные значения.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.