Упражнение 283 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 93

а) \(y^{4} - 24y^{2} - 25 = 0\)

\(y^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 24t - 25 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -24\),  \(c = -25\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-24)^2 - 4\cdot1\cdot(-25) =\)

\(=576 + 100 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\)

\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(t_{1} = \dfrac{24 + 26}{2\cdot1} = \dfrac{50}{2} = 25.\)

\(t_{2} = \dfrac{24 - 26}{2} = -\dfrac22= -1\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 25\), то

\(y^{2} = 25\)

\(y = \sqrt{25}\)

\(y = \pm 5\)

Ответ: \(y = -5; \; 5\).

б) \(x^{4} - 9x^{2} + 18 = 0\)

\(x^{2} =t \ge0\).

\(t^{2} - 9t + 18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -9\),  \(c = 18\)

\(D = (-9)^2 - 4\cdot1\cdot18 = 81 - 72 = 9\)

\(\sqrt{9} = 3\)

\(t_{1} = \dfrac{9 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6.\)

\(t_{2} = \dfrac{9 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

1) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 6 \)

\(x = \pm\sqrt{6}\)

2) Если \(t = 6\), то

\(x^{2} = 3 \)

\(x = \pm\sqrt{3}\)

Ответ: \(x = \pm\sqrt{6},\; \pm\sqrt{3}\).

Пояснения:

Уравнения вида \(ax^4+bx^2+c=0\), где \(a\ne0\), являющиеся квадратными относительно \(x^2\), называют биквадратными уравнениями.

Решение биквадратного уравнения:

вводят замену \[x^2 = t \ge 0,\] получают квадратное уравнение \[at^2+bt+c=0.\] Находят корни \(t_1,t_2\), потом для каждого неотрицательного корня решают \[x^2=t,\] то есть \[x=\pm\sqrt{t}.\]