Упражнение 279 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) (\(x > 0\)), тогда длина равна \(x + 5\).

Площадь прямоугольника:

\( x(x + 5)\).

Составим неравенство:

\(x(x + 5) > 36\).

\(x^2 + 5x > 36\)

\(x^2 + 5x - 36 > 0\)

\(y = x^2 + 5x - 36\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 5x - 36 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot 1 \cdot (-36) = \)

\(=25 + 144 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{169} = 13\)

\(x_1 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)

\(x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

\(x \in (-\infty; -9) \cup (4; +\infty)\)

По условию (\(x > 0\), поэтому

\(x \in (4; +\infty)\)

Ответ: ширина прямоугольника должна быть больше 4 см.

Пояснения:

Основные правила.

1. Если площадь \(x(x+5) > 36\), то получаем квадратное неравенство.

2. Для квадратного трёхчлена

\(ax^2+bx+c\) вычисляют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\), который получается больше нуля и находят корни:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

3. отмечаем корни на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\).

4. находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

5. так как речь идёт о длине, значение должно быть положительным, поэтому из полученных промежутков берем только положительные значения.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

а) \(x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0\)

Пусть \(x^{2} = t \ge 0\).

\(t^{2} - 25t + 144 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -25\),  \(c = 144\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-25)^2 - 4\cdot1\cdot 144 =\)

\(=625 - 576 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{25 + 7}{2\cdot1} = \frac{32}{2} = 16.\)

\( t_{2} = \frac{25 - 7}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)

1) Если \(t = 16\), то

\(x^{2} = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm 4\)

2) Если \(t = 9\), то

\(x^{2} = 9\)

\(x = \pm\sqrt9\)

\(x = \pm 3\)

Ответ: \(x = -4,\; -3,\; 3,\; 4.\)

б) \(y^{4} + 14y^{2} + 48 = 0\)

Пусть \(y^{2} = t\).

\(t^{2} + 14t + 48 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 14\),  \(c = 48\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=14^2 - 4\cdot1\cdot 48 =\)

\(=196 - 192 = 4 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 2.\)

\( t_{1} = \frac{-14 + 2}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6 < 0\) - не удовлетворяет условию.

\( t_{2} = \frac{-14 - 2}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: корней нет.

в) \(x^{4} - 4x^{2} + 4 = 0\)

Пусть \( x^{2} = t\).

\(t^{2} - 4t + 4 = 0\)

\((t - 2)^{2} = 0\)

\(t - 2 = 0\)

\(t = 2\)

\(x^{2} = 2 \)

\(x = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: \(x = \pm \sqrt{2}.\)

г) \(t^{4} - 2t^{2} - 3 = 0\)

Пусть \(t^{2} = x\).

\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot (-3) =\)

\(=4 + 12 = 16> 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 4.\)

\( x_{1} = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)

\( x_{2} = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 3\), то

\(t^{2} = 3 \)

\(t = \pm \sqrt{3}\)

Ответ: \(t = \sqrt{3}; -\sqrt{3}.\)

д) \(2x^{4} - 9x^{2} + 4 = 0\)

Пусть \(x^{2}= t\).

\(2t^{2} - 9t + 4 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -9\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot2\cdot 4 =\)

\(= 81 - 32 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 7.\)

\( t_{1} = \frac{9 + 7}{2\cdot2} = \frac{16}{4} = 4.\)

\( t_{2} = \frac{9 - 7}{2\cdot2} = \frac{2}{4} = \frac12=0,5.\)

Если \(t = 4\), то

\(x^{2} = 4 \)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

Если \(t = 0,5\), то

\(x^{2} = 0,5\)

\(x = \pm \sqrt{0,5}\)

Ответ: \(x = \pm 2,\; \pm \sqrt{0,5}.\)

е) \(5y^{4} - 5y^{2} + 2 = 0.\)

Пусть \( y^{2}=t\).

\(5t^{2} - 5t + 2 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -5\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot5\cdot 2 =\)

\(= 25 - 40 = -15 < 0\) - действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

Пояснения:

1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену

\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]

которое решаем через дискриминант:

\(D =b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).