Упражнение 275 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(ax^{2}+bx+c\)

\(D=b^{2}-4ac\).

\(ax^{2}+bx+c>0\) при всех \(x\), если одновременно \(a>0\) и \(D<0\).

\(ax^{2}+bx+c<0\) при всех \(x\), если одновременно \(a<0\) и \(D<0\).

2) а) \(7x^{2}-10x+7>0\)

\(y = 7x^{2}-10x+7\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 7> 0\).

\(7x^{2}-10x+7 = 0\)

\(D=(-10)^{2}-4\cdot7\cdot7=\)

\(=100-196=-96<0\) - корней нет.

\(7x^{2}-10x+7>0\) при любом \(x\).

б) \(-6y^{2}+11y-10<0\)

\(x = -6y^{2}+11y-10\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -6 < 0\).

\(-6y^{2}+11y-10 = 0\)

\(D=11^{2}-4\cdot(-6)\cdot(-10)=\)

\(=121-240=-119<0\) - корней нет.

\(-6y^{2}+11y-10<0\) при любом \(y\).

в) \(4x^{2}+12x+9\ge0\)

\(y = 4x^{2}+12x+9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).

\(4x^{2}+12x+9=0\)

\((2x)^{2}+2\cdot2x\cdot3+3^{2}=0\)

\((2x + 3)^2 = 0\)

\(2x+3=0\)

\(2x = -3\)

\(x = -\frac32\)

\(x = -1,5\)

\(4x^{2}+12x+9\ge0\) при любом \(x\)

г) \(\dfrac14x^{2}-8x+64\ge0\)

\(y = \dfrac14x^{2}-8x+64\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \frac14 > 0\).

\(\dfrac14x^{2}-8x+64 = 0\)  \(/\times 4\)

\(x^2 - 32x + 256 = 0\)

\((x-16)^{2} = 0\)

\(x - 16 = 0\)

\(x = 16\)

\(\dfrac14x^{2}-8x+64\ge0\) при любом \(x\).

д) \(-9y^{2}+6y-1\le0\)

\(x = -9y^{2}+6y-1\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -9 < 0\).

\(-9y^{2}+6y-1=0\)   \(/\times (-1)\)

\(9y^{2}-6y+1=0\)

\((3y-1)^{2} = 0\)

\(3y = 1\)

\(y = \frac13\)

\(-9y^{2}+6y-1\le0\) при любом \(y\)

е) \(-5x^{2}+8x-5<0\)

\(y =-5x^{2}+8x-5\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-5x^{2}+8x-5=0\)   \(/\times (-1)\)

\(5x^{2}-8x+5=0\)

\(D=(-8)^{2}-4\cdot5\cdot5=\)

\(=64-100=-36<0\) - корней нет.

\(-5x^{2}+8x-5<0\) при любом \(x\).

Пояснения:

Общие правила для квадратных неравенств.

Квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\) имеет дискриминант

\[D=b^{2}-4ac.\]

Если \(D<0\), то у уравнения

\(ax^{2}+bx+c=0\) нет действительных корней, а парабола не пересекает ось \(Ox\).

Тогда знак трёхчлена совпадает со знаком коэффициента \(a\) при любых \(x\):

• если \(a>0\) и \(D<0\), то

\(ax^{2}+bx+c>0\) для всех \(x\);

• если \(a<0\) и \(D<0\), то

\(ax^{2}+bx+c<0\) для всех \(x\).

Если \(D=0\), то трёхчлен можно записать как полный квадрат, учитывая формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

и знак определяется знаком \(a\): при \(a>0\) получаем \(\ge0\), при \(a<0\) получаем \(\le0\); нуль достигается в одной точке.

\[ y = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \]

С осью \(y\):  \(x = 0\).

\( y = 0^{3} - 6\cdot 0^{2} + 11\cdot 0 - 6 = -6. \)

\((0;\,-6)\) - точка пересечения с осью \(y\).

С осью \(x\):  \(y = 0\)

\( x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0 \)

\(x = 1\) - корень уравнения, так как

\( 1^3 - 6\cdot1^2 + 11\cdot1 - 6 = 0 \)

\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 6\)

\( D = b^2 - 4ac =(-5)^2 -4\cdot1\cdot6 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{D}=1. \)

\( x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot 1} = \frac62 = 3\).

\( x_2 = \frac{5 - 1}{2\cdot 1} = \frac42 = 2\).

\((1;\,0),\) \((2;\,0),\) и \( (3;\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: график пересекает оси координат в точках \( (0;\,-6),\) \((1;\,0),\) \( (2;\,0),\) \( (3;\,0). \)

Пояснения:

1. Для нахождения точки пересечения с осью \(Oy\) всегда подставляют \(x = 0\), потому что любая точка этой оси имеет вид \((0, y)\).

2. Для пересечения с осью \(Ox\) подставляют \(y = 0\), так как точки оси \(Ox\) имеют вид \((x, 0)\). Это всегда приводит к решению уравнения, полученного от правой части функции.

3. Кубический многочлен удобно решать через поиск целых корней среди делителей свободного члена (здесь делители числа 6). Один найденный корень позволяет разложить многочлен на множители путем деления многочленов "уголком" (так как целый корень уравнения равен \(1\) делим многочлен \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\) на многочлен \(x - 1\)) и свести задачу к квадратному уравнению, которое решается через дискриминант.