Упражнение 823 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y=-x^2+3\)

\(D(f)=(-\infty;+\infty)\).

1) \(y=-1\)

\(-x^2+3=-1\)

\(-x^2=-1-3\)

\(-x^2=-4\)

\(x^2=4\)

\(x=\pm\sqrt 4\)

\(x=\pm2\)

2) \(y=1\)

\(-x^2+3=1\)

\(-x^2=1-3\)

\(-x^2=-2\)

\(x^2=2\)

\(x=\pm\sqrt2\)

3) \(y=5\)

\(-x^2+3=5\)

\(-x^2=5-3\)

\(-x^2=2\)

\(x^2=-2\) - решений нет.

\(y=-x^2+3\) - парабола с вершиной в точке \((0; 3)\), ветви вниз.

\(E(f)=(-\infty;3]\).

Пояснения:

1. Область определения.

Функция \(y=-x^2+3\) — многочлен второй степени. Многочлены определены при всех действительных \(x\), поэтому

\[D(f)=(-\infty;+\infty).\]

2. Вид графика.

Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+b\), где \(a=-1<0\). Следовательно, график — парабола, ветви направлены вниз. Вершина находится в точке \((0;3)\).

3. Нахождение значений аргумента.

Чтобы узнать, существует ли такое \(x\), при котором функция принимает заданное значение, приравниваем выражение \(-x^2+3\) к этому числу и решаем уравнение.

— Для \(y=-1\) и \(y=1\) получаются положительные значения \(x^2\), поэтому решения существуют (по два).

— Для \(y=5\) получается \(x^2=-2\), что невозможно для действительных чисел. Значит, такого значения аргумента не существует.

4. Множество значений.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно \(3\). Так как ветви направлены вниз, функция принимает все значения, меньшие или равные 3:

\[E(f)=(-\infty;3].\]

Пусть \(A\) - событие, при котором на кубике выпадает одно очко, \(B\) - событие, при котором на кубике выпадает более трех очков, события \(A\) и \(B\) - независимые события. \(C\) - событие, при котором на одном кубике выпадет одно очко, а на другом - более трёх очков.

\(P(A) = \frac16\)

\(P(B) = \frac36 = \frac12\)

\(P(C) = 2\cdot P(A)\cdot P(B) = \)

\(=2\cdot \frac16\cdot\frac12 = \frac16\)

Ответ: \(\frac16\).

Пояснения:

Используем правило умножения вероятностей для независимых событий:

\[ P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \]

Только на одной грани кубика из шести выпадает одно очко, поэтому вероятность выпадения на кубике одного очка:

\(P(A) = \frac16\).

На трех гранях кубика из шести может выпасть больше \(3\) очков (\(4\), \(5\) и \(6\)), поэтому вероятность выпадения на кубике более трех очков:

\(P(B) = \frac36 = \frac12\).

Возможны два подходящих варианта, при которых на одном кубике выпадет одно очко, а на другом — более трёх очков:

1. На первом кубике - одно очко, на втором - более трех очков.

2. На первом кубике - более трех очков, на втором - одно очко.

Поэтому вероятность \(P(C)\) того, что на одном кубике выпадет одно очко, а на другом — более трёх очков, равна удвоенному произведению вероятностей \(P(A)\) и \(P(B)\):

\(P(C) = 2\cdot P(A)\cdot P(B) =\)

\(=2\cdot \frac16\cdot\frac12 = \frac16\).