Упражнение 752 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{1}{2}x-2=x^3\)

\(y =\frac{1}{2}x-2\)

\(y = x^3\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

б) \(-3x-1=\sqrt{x}\)

\(y = -3x - 1\)

\(y = \sqrt{x}\)

Ответ: корней нет.

в) \(\frac{1}{x}=-x^2+1\)

\(y = \frac{1}{x}\)

\(y = -x^2 + 1\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

г) \(3+x^2=\frac{12}{x}\)

\(y = x^2 + 3\)

\(y = \frac{12}{x}\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

Пояснения:

Метод графиков основан на том, что решения уравнения — это точки пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения.

а) Левая часть — прямая \(y=\frac{1}{2}x-2\), правая — кубическая функция \(y=x^3\). Кубическая функция непрерывна и принимает как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку значения выражения меняют знак, графики пересекаются хотя бы в одной точке.

б) Правая часть \(\sqrt{x}\) определена только при \(x\ge 0\) и всегда неотрицательна. Левая часть \(-3x-1\) при \(x\ge 0\) всегда отрицательна. Следовательно, графики не пересекаются.

в) Рассматриваем гиперболу \(y=\frac{1}{x}\) и параболу \(y=-x^2+1\). При положительных \(x\) обе функции могут быть положительными, поэтому существует точка пересечения. При отрицательных \(x\) знаки различны, пересечения нет.

г) Левая часть \(y=3+x^2\) — парабола, всегда положительная. Правая часть \(y=\frac{12}{x}\) положительна при \(x>0\) и отрицательна при \(x<0\). Поэтому возможна точка пересечения только при \(x>0\), и она одна.

а)

\[ \begin{cases} 7-3x-4(3-1{,}5x)<0,\\ -6(1+2{,}5x)-10x-4>0 \end{cases} \]

\[ 7-3x-12+6x<0 \]

\[ 3x-5<0 \]

\[ 3x<5 \]

\[ x<\frac{5}{3} \]

\[ -6-15x-10x-4>0 \]

\[ -25x-10>0 \]

\[ -25x>10 \]

\[ x<-\frac{10}{25} \]

\[ x<-\frac{2}{5} \]

\[ \begin{cases} x<\frac{5}{3},\\ x<-\frac{2}{5} \end{cases} \]

\[ x<-\frac{2}{5} \]

Ответ для а):

\[ x\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right) \]

б)

\[ \begin{cases} 2(1{,}5x-1)-(x+4)\ge 0,\\ -(2-x)-0{,}75x\le 0 \end{cases} \]

\[ 3x-2-x-4\ge 0 \]

\[ 2x-6\ge 0 \]

\[ 2x\ge 6 \]

\[ x\ge 3 \]

\[ -2+x-0{,}75x\le 0 \]

\[ 0{,}25x-2\le 0 \]

\[ 0{,}25x\le 2 \]

\[ x\le 8 \]

\[ \begin{cases} x\ge 3,\\ x\le 8 \end{cases} \]

\[ 3\le x\le 8 \]

Ответ для б):

\[ x\in[3;8] \]

Пояснения:

В задаче используются правила раскрытия скобок, приведения подобных членов и решения линейных неравенств.

Основные правила:

\[ a(b+c)=ab+ac \]

\[ a(b-c)=ab-ac \]

Если перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, его знак меняется.

Если обе части неравенства разделить или умножить на положительное число, знак неравенства не меняется.

Если обе части неравенства разделить или умножить на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

При решении системы неравенств нужно найти пересечение решений, то есть значения \(x\), которые одновременно подходят для обоих неравенств системы.

Пояснение к пункту а).

Сначала решаем первое неравенство:

\[ 7-3x-4(3-1{,}5x)<0 \]

Раскрываем скобки:

\[ -4\cdot 3=-12,\qquad -4\cdot(-1{,}5x)=6x \]

Получаем:

\[ 7-3x-12+6x<0 \]

Приводим подобные члены:

\[ -3x+6x=3x,\qquad 7-12=-5 \]

Имеем:

\[ 3x-5<0 \]

\[ 3x<5 \]

\[ x<\frac{5}{3} \]

Теперь решаем второе неравенство:

\[ -6(1+2{,}5x)-10x-4>0 \]

Раскрываем скобки:

\[ -6\cdot 1=-6,\qquad -6\cdot 2{,}5x=-15x \]

Получаем:

\[ -6-15x-10x-4>0 \]

Приводим подобные члены:

\[ -15x-10x=-25x,\qquad -6-4=-10 \]

Имеем:

\[ -25x-10>0 \]

\[ -25x>10 \]

Делим на отрицательное число \(-25\), поэтому знак меняется:

\[ x<-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5} \]

Теперь пересекаем два условия:

\[ x<\frac{5}{3} \quad \text{и} \quad x<-\frac{2}{5} \]

Более строгим является условие:

\[ x<-\frac{2}{5} \]

Поэтому решение всей системы:

\[ x\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right) \]

Пояснение к пункту б).

Решаем первое неравенство:

\[ 2(1{,}5x-1)-(x+4)\ge 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2\cdot 1{,}5x=3x,\qquad 2\cdot(-1)=-2 \]

Перед скобкой \((x+4)\) стоит знак «минус», поэтому знаки внутри меняются:

\[ -(x+4)=-x-4 \]

Получаем:

\[ 3x-2-x-4\ge 0 \]

Приводим подобные члены:

\[ 3x-x=2x,\qquad -2-4=-6 \]

Имеем:

\[ 2x-6\ge 0 \]

\[ 2x\ge 6 \]

\[ x\ge 3 \]

Теперь решаем второе неравенство:

\[ -(2-x)-0{,}75x\le 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ -(2-x)=-2+x \]

Получаем:

\[ -2+x-0{,}75x\le 0 \]

Приводим подобные члены:

\[ x-0{,}75x=0{,}25x \]

Имеем:

\[ 0{,}25x-2\le 0 \]

\[ 0{,}25x\le 2 \]

\[ x\le 8 \]

Теперь берём пересечение условий:

\[ x\ge 3 \quad \text{и} \quad x\le 8 \]

Получаем:

\[ 3\le x\le 8 \]

Так как знаки неравенств нестрогие, числа \(3\) и \(8\) входят в ответ.

Итог:

а) \(\;x\in\left(-\infty;-\dfrac{2}{5}\right)\)

б) \(\;x\in[3;8]\)