Упражнение 754 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}4x-y=17,\\ y+6x=23\end{cases}\)   \((+)\)

1) \((4x - y) + (y + 6x) = 17 + 23\)

\(4x - \cancel{y} + \cancel{y} + 6x = 17 + 23\)

\(10x = 40\)

\(x = \frac{40}{10}\)

\(x = 4\)

2) \(y + 6\cdot4 = 23\)

\(y + 24 = 23\)

\(y = 23 - 24\)

\(y = -1\)

Ответ: \((4; -1)\).

б) \(\begin{cases}6x-10y=11,\\ 5y+7x=19    /\times 2\end{cases}\)

\(\begin{cases}6x-10y=11,\\ 10y+14x=38 \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((6x - 10y) + (10y + 14x) = 11 + 38\)

\(6x - \cancel{10y} + \cancel{10y} + 14x = 49\)

\(20x = 49\)

\(x = \frac{49}{20}\)

\(x = 2,45\)

2) \(6\cdot2,45 - 10y = 11\)

\(14,7 - 10y = 11\)

\(-10y = 11 - 14,7\)

\(-10y = -3,7\)

\(y = \frac{-3,7}{-10}\)

\(y = 0,37\)

Ответ: \((2,45; 0,37)\).

в) \(\begin{cases}5x=y+50,\\ -3{,}4x+2{,}6y=14\end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 5x-50,\\ -3{,}4x+2{,}6(5x - 50)=14\end{cases}\)

1) \(-3{,}4x+2{,}6(5x - 50)=14\)

\(-3,4x + 13x - 130 = 14\)

\(9,6x = 14 + 130\)

\(9,6x = 144\)

\(x = \frac{144}{9,6}\)

\(x = \frac{1440}{96}\)

\[x=15\]

2) \(y=5\cdot 15-50 = 75 - 50 =25\)

Ответ: \((15; 25)\).

г) \(\begin{cases}4x-2y=3,  /\times3 \\ 13x+6y=-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}12x-6y=9, \\ 13x+6y=-1\end{cases}\)  \((+)\)

1) \((12x - 6y) + (13x + 6y) = 9+(-1)\)

\(12x - \cancel{6y} + 13x + \cancel{6y} = 9-1\)

\(25x = 8\)

\(x = \frac{8}{25}\)

\(x = 0,32\)

2) \(4\cdot 0,32-2y=3\)

\(1,28 - 2y = 3\)

\(-2y = 3 - 1,28\)

\(-2y = 1,72\)

\(y = \frac{1,72}{-2}\)

\(y = -0,86\)

Ответ: \((0,32; -0,86)\).

Пояснения:

Основные способы решения систем линейных уравнений:

Подстановка: выразить одну переменную и подставить в другое уравнение.

Сложение (исключение): умножить уравнения так, чтобы одна переменная сократилась при сложении.

а) Сложив уравнения системы, сокращается \(y\). Далее, решив линейное уравнение, находим \(x\). Затем, подставляя во второе уравнение полученное значение \(x\), находим значение переменной \(y\).

б) Домножив второе уравнение на \(2\) и сложив уравнения системы, сокращается \(y\). Далее, решив линейное уравнение, находим \(x\). Затем, подставляя в первое уравнение полученное значение \(x\), находим значение переменной \(y\).

в) Из первого уравнения системы выражаем переменную \(y\). Подставляем полученное выражение для переменной \(y\) во второе уравнение и решая линейное уравнение, находим \(x\). Подставляя полученное значение \(x\) в выражение для \(y\) находим значение \(y\).

г) Домножив второе уравнение на \(3\) и сложив уравнения системы, сокращается \(y\). Далее, решив линейное уравнение, находим \(x\). Затем, подставляя в первое уравнение полученное значение \(x\), находим значение переменной \(y\).

\[ 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \]

Ответ: \(24\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Правило произведения:

Если одно действие можно выполнить \(m\) способами, а другое — \(n\) способами, то оба действия вместе можно выполнить \(m \cdot n\) способами.

2. Размещение без повторений:

Если нужно разместить \(k\) различных объектов по \(n\) местам, то число способов:

\[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots \]

Рассмотрим задачу.

Есть 4 места в купе и 3 человека (все считаются различными).

Первого человека можно посадить на любое из 4 мест:

\[ 4 \text{ способа} \]

Второго — на любое из оставшихся 3 мест:

\[ 3 \text{ способа} \]

Третьего — на любое из оставшихся 2 мест:

\[ 2 \text{ способа} \]

По правилу произведения общее число способов:

\[ 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24. \]

Таким образом, семья может разместиться 24 различными способами.