Упражнение 709 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y - x = 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 0,5x^2 - 2, \\ y = x+2 \end{cases}\)

1) Графический способ:

\(y=0,5x^2-2\) - парабола.

\(y = x+2\) - прямая.

2) Аналитический способ:

\(\begin{cases} x+2 = 0,5x^2 - 2, \\ y = x+2 \end{cases}\)

\( x+2=0,5x^2-2 \)

\( 0,5x^2 - x - 2-2 = 0 \)

\( 0,5x^2 - x - 4 = 0 \)    \(/\times2\)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -8\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4 + 32 = 36\),     \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1 = \frac{(-(-2) + 6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\( x_1 = \frac{(-(-2) - 6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 4 + 2 = 6\).

\(y_2 = -2 + 2 = 0\)

Ответ: \((4;6)\), \((-2;0)\).

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

В качестве аналитического способа используем метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

\(20 \; мин = \frac{20}{60} \; ч = \frac13 \; ч\)

Составим уравнение:

\(2 + \frac13 + \frac{400 - 2x}{x + 10} = \frac{400}{x}\)

\(2\frac13 + \frac{400 - 2x}{x + 10}=\frac{400}{x}\)

\(\frac73 + \frac{400 - 2x}{x + 10}=\frac{400}{x}\)   \(/\times 3x(x+10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(7x(x+10)+3x(400-2x) =1200(x+10)\)

\(7x^2 + 70x +1200x - 6x^2 = 1200x +12 000\)

\(7x^2 + 70x +\cancel{1200x} - 6x^2 - \cancel{1200x} -12 000=0\)

\( x^2 + 70x - 12000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 70\),  \(c = -12000\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) =\)

\(=4900 + 48000 = 52900\),

\(\sqrt{D} = 230.\)

\( x_1 = \frac{-70 + 230}{2\cdot1}=\frac{160}{2}= 80\).

\( x_2 = \frac{-70 - 230}{2\cdot1}=\frac{-300}{2} = -150\) - не удовлетворяет условию.

1) \(80\) (км/ч) - скорость из А в В.

2) \(\frac{400}{80} = 5\) (ч) - время на путь из А в В.

3) \(5 \; ч - 20 \; мин = 4 \; ч\; 40 \;мин\) - время на путь из В в А.

Ответ: на обратный путь автобус затратил 4 ч 40 мин.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость автобуса при движении из А в В за \(x\). Используя условия задачи (движение с разными скоростями и разница во времени), составили дробное рациональное уравнение:

\(2 + \frac13 + \frac{400 - 2x}{x + 10} = \frac{400}{x}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(80\) и \(-150\). Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, скорость автобуса при движении из А в В равна 80 км/ч. Тогда время на путь из А в В:

\(\frac{400}{80} = 5\) (ч).

На обратный путь (из В в А) автобус затратил на 20 мин меньше, значит, на обратный путь автобус затратил:

\(5 \; ч - 20 \; мин = 4 \; ч\; 40 \;мин\).