Упражнение 695 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\;16m^{2}-25n^{4}=\)

\(=(4m)^{2}-(5n^{2})^{2}=\)

\(=(4m-5n^{2})(4m+5n^{2}).\)

б) \(\;0{,}09a^{4}-9b^{2}(3b)^{2}=\)

\(=(0{,}3a^{2})^2-(3b)^{2}=\)

\(=(0,3a^2 - 3b)(0,3a^2 + 3b).\)

в) \(\;(2a+3)^{2}-4=\)

\(=\bigl((2a+3)-2\bigr)\bigl((2a+3)+2\bigr)=\)

\(=\bigl(2a+3-2\bigr)\bigl(2a+3+2\bigr)=\)

\(=(2a+1)(2a+5).\)

г) \(\;36-(1-5x)^{2}=\)

\(=\bigl(6-(1-5x)\bigr)\bigl(6+(1-5x)\bigr)=\)

\(=\bigl(6-1+5x\bigr)\bigl(6+1-5x\bigr)=\)

\(=(5x+5)(7-5x)=\)

\(=5(1+x)(7-5x).\)

Пояснения:

Применяемые приемы и формулы:

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

- Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a+b)\).

- Раскрытие скобок:

\(a+(b-c) = a + b - c\);

\(a-(b-c) = a - b+c\).

а) \(\dfrac{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{10x}{3x^2-2}\)

\(\dfrac{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{10x}{(\sqrt3x)^2-(\sqrt2)^2}\)

\(\dfrac{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{10x}{(x\sqrt{3}-\sqrt{2})(x\sqrt{3}+\sqrt{2})}\)  \(/\times (x\sqrt{3}-\sqrt{2})(x\sqrt{3}+\sqrt{2})\)

ОДЗ:

\(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\neq0\)   и   \(x\sqrt{3}+\sqrt{2}\neq0\) 

\(x\sqrt{3}\neq \sqrt{2}\)               \(x\sqrt{3}\neq-\sqrt{2}\)

\(x\neq \sqrt{\frac23}\)                   \(x\neq -\sqrt{\frac23}\)

\((x\sqrt{3}+\sqrt{2})(x\sqrt{3}+\sqrt{2})+ (x\sqrt{3}-\sqrt{2})(x\sqrt{3}-\sqrt{2})=10x\)

\((x\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+ (x\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=10x\)

\((x\sqrt{3})^2 + \cancel{2\cdot x\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} + (\sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3})^2 - \cancel{2\cdot x\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} + (\sqrt{2})^2=10x\)

\(3x^2 + 2 + 3x^2 + 2 - 10x = 0\)

\(6x^2 - 10x + 4 = 0\)     \(/ : 2\)

\(3x^2-5x+2=0\)

\(a = 3\),  \(b = -5\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot3\cdot 2 = \)

\(=25-24=1,\)     \(\sqrt D = 1\).

\(x_1=\dfrac{-(-5) + 1}{2\cdot3}=\dfrac{6}{6}=1\).

\(x_2=\dfrac{-(-5) - 1}{2\cdot3}=\dfrac{4}{6}=\frac{2}{3}.\)

Ответ:  \(1,\; \frac{2}{3}.\)

б) \(\dfrac{1-y\sqrt{5}}{1+y\sqrt{5}}+\dfrac{1+y\sqrt{5}}{1-y\sqrt{5}}=\dfrac{9y}{1-5y^2}\)

\(\dfrac{1-y\sqrt{5}}{1+y\sqrt{5}}+\dfrac{1+y\sqrt{5}}{1-y\sqrt{5}}=\dfrac{9y}{1^2-(\sqrt{5y})^2}\)

\(\dfrac{1-y\sqrt{5}}{1+y\sqrt{5}}+\dfrac{1+y\sqrt{5}}{1-y\sqrt{5}}=\dfrac{9y}{(1+y\sqrt{5})(1-y\sqrt{5})}\) \(/\times (1+y\sqrt{5})(1-y\sqrt{5})\)

ОДЗ:

\(1+y\sqrt{5}\neq0\)   и   \(1-y\sqrt{5}\neq0\) 

\(y\sqrt{5}\neq -1\)            \(-y\sqrt{5}\neq-1\)

\(x\neq -\frac{1}{\sqrt5}\)              \(x\neq \frac{1}{\sqrt5}\) 

\((1-y\sqrt{5})(1-y\sqrt{5}) + (1+y\sqrt{5})(1+y\sqrt{5}) = 9y\)

\((1-y\sqrt{5})^2 + (1+y\sqrt{5})^2 = 9y\)

\(1^2-\cancel{2\cdot1\cdot y\sqrt5} + (y\sqrt5)^2+ 1^2+ \cancel{2\cdot1\cdot y\sqrt5} + (y\sqrt5)^2=9y\)

\(1 + 5y^2 +1 + 5y^2 - 9y=0\)

\(10y^2 -9y +2=0\)

\(a = 10\),  \(b = -9\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac =(-9)^2 -4\cdot10\cdot2 =\)

\(=81 -80 = 1\),     \(\sqrt D = 1\).

\(x_1=\dfrac{-(-9) + 1}{2\cdot10}=\dfrac{10}{20}=\frac12=0,5\).

\(x_2=\dfrac{-(-9) - 1}{2\cdot10}=\dfrac{8}{20}=\frac25=0,4\).

Ответ: \(y=0,5, \; 0,4.\)

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

Квадрат суммы двух выражений:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab +b^2\).

Квадрат разности двух выражений:

\((a -b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Свойства арифметического квадратного корня:

\(\sqrt a\cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\);

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\).