Упражнение 600 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}+1=0\)

\(x^{2}=-1\) - корней нет.

Ответ: корней нет.

б) \(x^{3}-27=0\)

\(x^{3}=27\)

\(x=3\).

Ответ: имеет один корень \(x=3\).

в) \(-2y^{6}-1=0\) - не имеет корней,

так как \(-2y^{6}-1<0\) при любом \(y\).

Ответ: корней нет.

г) \(y^{4}+3y^{2}+7=0\) - не имеет корней,

так как \(y^{4}+3y^{2}+7>0\) при любом \(x\).

Ответ: корней нет.

---

Пояснения:

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Правила и приемы:

— Для любого \(t\):

\(t^{2}\ge0\), \(t^{4}\ge0\), \(t^{6}\ge0\).

— Уравнение вида \(A=0\) не имеет действительных корней, если \(A>0\) при всех значениях переменной.

Пояснения к пунктам:

а) Левая часть не может быть нулём, потому что сумма неотрицательного числа \(x^{2}\) и положительного числа \(1\) всегда положительна.

б) Кубическое уравнение сводится к \(x^{3}=27\), откуда следует единственный корень \(x=3\).

в) Левая часть всегда отрицательна: \(-2y^{6}-1\le-1<0\), поэтому равенство нулю невозможно.

г) Левая часть всегда положительна: \(y^{4}+3y^{2}+7>0\), поэтому равенство нулю невозможно.

а) \(\dfrac{y^{2}}{y+3}=\dfrac{y}{y+3}\)     \(/\times(y+3)\)

ОДЗ: \((y+3)\neq0\)

          \(y\neq-3\).

\(y^{2}=y\)

\(y^{2}-y=0\)

\(y(y-1)=0\)

\(y=0\)   или   \(y-1=0\)

                      \(y = 1\)

Ответ: \(0;   1\).

б) \(\dfrac{x^{2}}{x^{2}-4}=\dfrac{5x-6}{x^{2}-4}\)    \(/\times(x^2-4)\)

ОДЗ: \(x^{2}-4\neq0\)

         \(x^{2}\neq4\)

          \(x\neq2\) и \(x\neq-2\)

\(x^{2}=5x-6\)

\(x^{2}-5x+6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 6\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(=25 -24 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac62=3\).

\( x_2 = \frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac42=2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(3\).

в) \(\dfrac{2x^{2}}{x-2}=\dfrac{-7x+6}{2-x}\)

\(\dfrac{2x^{2}}{x-2}=\dfrac{7x-6}{x-2}\)    \(/\times(x-2)\)

ОДЗ: \(x-2\neq0\)

         \(x\neq2\).

\(2x^{2}=7x-6\)

\(2x^{2}-7x+6=0\)

\(a = 2\),  \(b = -7\),  \(c = 6\)

\(D = b^2 - 4ac =(-7)^2 - 4\cdot2\cdot6 =\)

\(=49 - 48 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+1}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2\) - не подходит по ОДЗ.

\( x_2 = \frac{-(-7)-1}{2\cdot2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5\).

Ответ: \(1,5\).

г) \(\dfrac{y^{2}-6y}{y-5}=\dfrac{5}{5-y}\)

\(\dfrac{y^{2}-6y}{y-5}=\dfrac{-5}{y-5}\)    \(/\times(y-5)\)

ОДЗ: \(y-5\neq0\)

         \(y\neq5\).

\(y^{2}-6y=-5\)

\(y^{2}-6y+5=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac =(-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=36 - 20 = 16\),   \(\sqrt D = 4\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\) - не подходит по ОДЗ.

\( y_2 = \frac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

Ответ: \(1\).

д) \(\dfrac{2x-1}{x+7}=\dfrac{3x+4}{x-1}\)   \(/\times(x+7)(x-1)\)

ОДЗ: \(x + 7 \neq 0\)  и  \(x - 1 \neq 0\)

          \(x\neq-7\)         \(x\neq1\).

\((2x-1)(x-1)=(3x+4)(x+7)\)

\(2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 +21x +4x + 28\)

\(2x^{2}-3x+1=3x^{2}+25x+28\)

\(2x^{2}-3x+1-3x^{2}-25x-28=0\)

\(-x^{2}-28x-27=0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^{2}+28x+27=0\)

\(a = 1\),  \(b = 28\),  \(c = 27\)

\(D = b^2 - 4ac =28^2-4\cdot1\cdot27 =\)

\( =784 - 108 =676\),     \(\sqrt D = 26\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-28+26}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\).

\( x_2 = \frac{-28-26}{2\cdot1}=\frac{-54}{2}=-27\)

Ответ: \(-1;   -27\).

е) \(\dfrac{2y+3}{2y-1}=\dfrac{y-5}{y+3}\) \(/\times(2y-1)(y+3)\)

ОДЗ: \(2y-1\neq0\)  и  \(y+3\neq0\)

          \(2y\neq 1\)            \(y\neq-3\)

          \(y\neq\dfrac12\)

\((2y+3)(y+3)=(y-5)(2y-1)\)

\(2y^2+6y+3y+9 = 2y^2-y-10y+5\)

\(2y^{2}+9y+9=2y^{2}-11y+5\)

\(\cancel{2y^{2}}+9y-\cancel{2y^{2}}+11y=5-9\)

\(20y=-4\)

\(y=-\dfrac{4}{20}\)

\(y=-\dfrac15\)

\(y=-0,2\)

Ответ: \(-0,2\).

ж) \(\dfrac{5y+1}{y+1}=\dfrac{y+2}{y}\) \(/\times y(y+1)\)

ОДЗ: \(y+1\neq0\)  и  \(y\neq0\)

         \(y\neq-1\)

\((5y+1)y=(y+2)(y+1)\)

\(5y^{2}+y=y^{2}+y+2y+2\)

\(5y^{2}+y-y^{2}-y-2y-2=0\)

\(4y^{2}-2y-2=0\)    \(/ : 2\)

\(2y^{2}-y-1=0\)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=\)

\(=1 + 8 = 9\),    \(\sqrt D = 3\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-1)+3}{2\cdot2}=\frac{4}{4}=1\)

\( y_2 = \frac{-(-1)-3}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-0,5\)

Ответ: \( 1;   -0,5\).

з) \(\dfrac{1+3x}{1-2x}=\dfrac{5-3x}{1+2x}\) \(/\times (1-2x)(1+2x)\)

ОДЗ: \(1-2x \neq0\)  и  \(1+2x \neq0\)

         \(-2x \neq-1\)  и  \(2x \neq-1\)

          \(x\neq\dfrac12\)             \(x\neq-\dfrac12\)

\((1+3x)(1+2x)=(5-3x)(1-2x)\)

\(1 +2x + 3x + 6x^2 = 5 -10x-3x+6x^2\)

\(1+5x+6x^{2}=5-13x+6x^{2}\)

\(5x+\cancel{6x^{2}}+13x-\cancel{6x^{2}}=5 - 1\)

\(18x=4\)

\(x = \frac{4}{18}\)

\(x=\dfrac{2}{9}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{9}\).

и) \(\dfrac{x-1}{2x+3}-\dfrac{2x-1}{3-2x}=0\)   \(/\times(2x+3)(3-2x)\)

ОДЗ: \(2x+3\neq0\)  и  \(3-2x\neq0\)

         \(2x\neq-3\)          \(-2x\neq-3\)

         \(x\neq-\dfrac32\)             \(x\neq\dfrac32\)

         \(x\neq-1,5\)          \(x\neq1,5\)

\((x-1)(3-2x)-(2x-1)(2x+3) = 0\)

\(3x-2x^2-3+2x -(4x^2+6x-2x-3) = 0\)

\(3x-2x^2-3+2x -4x^2-6x+2x+3 = 0\)

\(-6x^2+x=0\)

\(x(-6x+1\) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(-6x + 1 = 0\)

                       \(-6x = -1\)

                       \(x = \frac16\)

Ответ: \(0;   \frac16\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).