Упражнение 549 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 0{,}7x^2 - 1{,}3x - 2 = 0 \)   \(/\times10\)

\(7x^2 - 13x - 20 = 0\)

\(a=7\), \(b=-13\), \(c=-20\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot7\cdot(-20) =\)

\(=169 + 560 = 729\);    \(\sqrt D = 27\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + 27}{2\cdot7} =\)

\(=\frac{40}{14} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) - 27}{2\cdot7} =\)

\(= \frac{-14}{14} = -1 \).

Ответ: \(x_1 = 2\frac{6}{7}\),  \(x_2 =-1\).

б) \( 7 = 0{,}4y + \frac{1}{5}y^2 \)

\(\frac{1}{5}y^2 + 0{,}4y - 7 = 0 \)   \(/\times5\)

\(y^2 + 2y - 35 = 0\)

\(a=1\), \(b=2\), \(c=-35\).

\(D =b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-35) =\)

\(=4 + 140 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2} =\)

\(=\frac{10}{2} =5\).

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2} =\)

\(=\frac{-14}{2} =-7\).

Ответ: \(y_1 = 5\),  \(y_2 =-7\).

в) \( x^2 - 1{,}6x - 0{,}36 = 0\)

\(a=1\), \(b=-1,6\), \(c=-0,36\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1{,}6)^2 - 4\cdot1\cdot(-0{,}36) =\)

\(=2{,}56 + 1{,}44 = 4\);    \(\sqrt D = 2\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1{,}6) + 2}{2} =\)

\(=\frac{3{,}6}{2} = 1{,}8\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1{,}6) - 2}{2} =\)

\( = \frac{-0{,}4}{2} = -0{,}2 \).

Ответ: \(x_1 =1,8\),  \(x_2 = -0,2\).

г) \( z^2 - 2z + 2{,}91 = 0\)

\(a=1\), \(b=-2\), \(c=-0,36\).

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2{,}91 =\)

\(=4 - 11{,}64 = -7{,}64 < 0\)

Ответ: корней нет.

д) \( 0{,}2y^2 - 10y + 125 = 0 \)    \(/\times5\)

\(y^2 - 50y + 625 = 0\)

\(a=1\), \(b=-50\), \(c=625\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-50)^2 - 4\cdot1\cdot625 =\)

\(=2500 - 2500 = 0\)

\( y =-\frac{b}{2a}= -\frac{-50}{2} = 25\)

Ответ: \(y=25\).

е) \( \frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0 \)    \(/\times3\)

\(x^2 + 6x - 27 = 0\)

\(a=1\), \(b=6\), \(c=-27\).

\(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-27) =\)

\(=36 + 108 = 144\);    \(\sqrt D = 12\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6 + 12}{2}=\)

\(=\frac{6}{2}= 3\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6 - 12}{2}=\)

\(=\frac{-18}{2}= -9\).

Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -9\).

Пояснения:

Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого сначала переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные. Для удобства вычислений там, где это необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) стали целочисленными. Решаем полученное квадратное уравнение.

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(x^2 - 2x - 1=0\)

\(x^2 = 2x + 1\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y = 2x + 1\) - прямая.

\(x^2 - 2x - 1=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 -4\cdot1\cdot(-1) =\)

\(=4+4 = 8\);  

\(\sqrt{D} = \sqrt{8} =\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-2)+ 2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{2+ 2\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(1+ \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(=1+ \sqrt{2}\approx1+1,4 \approx2,4\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-2)- 2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{2- 2\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(1- \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(=1- \sqrt{2}\approx1-1,4 \approx-0,4\).

Ответ: \( x_1 \approx2,4\), \( x_2 \approx-0,4\).

б) \( x^2 - 4x + 2=0\)

\( x^2 = 4x - 2\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y= 4x - 2\)

\( x^2 - 4x + 2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-4)^2 -4\cdot1\cdot2 = \)

\(=16-8 = 8\);

\(\sqrt{D} = \sqrt{8} =\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2(2 + \sqrt{2})}{\cancel2} =2 + \sqrt2\approx\)

\(\approx 2+1,4 \approx 3,4 \).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2(2 - \sqrt{2})}{\cancel2} =2 - \sqrt2 \approx\)

\(\approx2-1,4 \approx 0,6 \).

Ответ: \( x_1 \approx3,4\), \( x_2 \approx0,6\).

Пояснения:

1 способ

Чтобы решить уравнения графически, в левой части уравнения оставляем \(x^2\), а остальные компоненты переносим в правую часть,изменив их знаки на противоположные. Строим два графика:

•  \(y = x^2\) - парабола. Строим по точкам;
•  \(y = kx+b\) - прямая. Для построения достаточно двух точек.

Абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения графиков и будут решениями исходного уравнения.

2 способ

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.