Упражнение 547 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1 способ

\(x^2 = 0{,}5x + 3\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y=0{,}5x + 3\) - прямая.

2 способ

\(x^2 = 0{,}5x + 3\)

\( x^2 - 0{,}5x - 3 = 0 \)   \(/\times2\)

\( 2x^2 - x - 6 = 0 \)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-6) =\)

\(1 + 48 = 49\);    \(\sqrt{D} = 7\)).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) +7}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8}{4} = 2\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) -7}{2\cdot2} = \)

\(\frac{-6}{4}= -\frac32 = -1{,}5\).

Ответ: \( x_1 = 2\),  \( x_2 =-1,5\).

Пояснения:

1 способ

Чтобы решить уравнения графически, в левой части уравнения оставляем \(x^2\), а остальные компоненты переносим в правую часть,изменив их знаки на противоположные. Строим два графика:

•  \(y = x^2\) - парабола. Строим по точкам;
•  \(y = 0,5x+3\) - прямая. Для построения достаточно двух точек.

Абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения графиков и будут решениями исходного уравнения.

2 способ

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( 5x^2 - x - 1 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -1\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot5\cdot(-1) =\)

\(=1 + 20 = 21\),    \(\sqrt{D} \approx4,58\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\approx \frac{-(-1)+4{,}58}{2\cdot5} \approx\)

\(\approx\frac{5,58}{10}\approx0,558\approx0{,}56\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\approx \frac{-(-1)-4{,}58}{2\cdot5} \approx\)

\(\approx\frac{-3,58}{10}\approx-0,358\approx-0{,}36\).

Ответ: \( x_1\approx 0,56\),  \( x_2 \approx -0,36\).

б) \( 2x^2 + 7x + 4 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac = 7^2 - 4\cdot2\cdot4 = \)

\(=49 - 32 = 17\);    \(\sqrt{D}\approx4{,}12\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-7+4{,}12}{2\cdot2} \approx \)

\( \approx \frac{-2{,}88}{4} \approx -0{,}72\).

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-7-4{,}12}{2\cdot2} \approx \)

\( \approx \frac{-11{,}88}{4}\approx -2{,}78\).

Ответ: \( x_1 \approx -0{,}72\),  \(x_2=\approx -2{,}78\).

в) \( 3(y^2-2)-y=0\)

\(3y^2-6-y=0\)

\(3y^2 - y -6 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot3\cdot(-6) =\)

\(=1 + 72 = 73\);    \(\sqrt{D}\approx8{,}54\)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-(-1)+8{,}54}{2\cdot3}\approx\)

\(\approx\frac{9{,}54}{6} \approx 1{,}59\).

\(y_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-(-1)-8{,}54}{2\cdot3}\approx\)

\(\approx\frac{-7{,}54}{6}\approx -1{,}26. \)

Ответ: \( y_1 \approx 1{,}59\),  \(y_2= \approx -1{,}26. \)

г) \( y^2 + 8(y-1) = 3 \)

\(y^2 +8y -8 = 3\)

\(y^2 +8y -8 - 3=0\)

\(y^2 +8y -11 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = -11\)

\(D =b^2 - 4ac = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-11) =\)

\(=64 + 44 = 108\);    \(\sqrt{D}\approx10{,}39\)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-8+10{,}39}{2\cdot1} \approx\)

\( \approx \frac{2{,}39}{2} \approx1{,}20\).

\(y_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \approx \frac{-8-10{,}39}{2\cdot1} \approx\)

\( \approx \frac{-18{,}39}{2}\approx -9{,}20. \)

Ответ: \( y_1 \approx1{,}20\),  \(y_2\approx -9{,}20. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Раскрытие скобок:

\(a(b + c\) = ab + ac\).

2. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2+bx+c=0\).

3. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.