Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№550 учебника 2023-2025 (стр. 127):
При каких значениях \(x\) верно равенство:
а) \(\displaystyle \frac{1}{7}x^2 = 2x - 7\);
б) \(\displaystyle x^2 + \frac{6}{5} = 2{,}6x\);
в) \(\displaystyle 4x^2 = 7x + 7{,}5\);
г) \(\displaystyle 6x^2 - 2 = x\)?
№550 учебника 2013-2022 (стр. 129):
Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):
а) \(x^2 - 8x + 9 = 0\);
б) \(2y^2 - 8y + 5 = 0\).
№550 учебника 2023-2025 (стр. 127):
Вспомните:
№550 учебника 2013-2022 (стр. 129):
Вспомните:
№550 учебника 2023-2025 (стр. 127):
а) \( \frac{1}{7}x^2 = 2x - 7 \) \(/\times7\)
\(x^2 = 14x - 49 \)
\(x^2 - 14x + 49 = 0 \)
\(a=1\), \(b=-14\), \(c=49\).
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot49=\)
\(=196 - 196 = 0\).
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\)
Ответ: при \(x = 7\).
б) \( x^2 + \frac{6}{5} = 2{,}6x\) \(/\times5\)
\( 5x^2 + 6 =13x\)
\(5x^2 - 13x + 6 = 0\)
\(a=5\), \(b=-13\), \(c=6\).
\(D = b^2 - 4ac= (-13)^2 - 4\cdot5\cdot6 =\)
\(=169 - 120 = 49\); \(\sqrt{D}=7\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + 7}{2\cdot5} =\)
\(=\frac{20}{10} = 2\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) - 7}{2\cdot5} =\)
\(=\frac{6}{10} = 0{,}6 \).
Ответ: при \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 0{,}6 \).
в) \( 4x^2 = 7x + 7{,}5\) \(/\times2\)
\(8x^2 = 14x + 15\)
\(8x^2 - 14x - 15 = 0\)
\(a=8\), \(b=-14\), \(c=-15\).
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(=(-14)^2 - 4\cdot8\cdot(-15) =\)
\(=196 + 480 = 676\); \(\sqrt{D}=26\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 26}{2\cdot8} =\)
\(=\frac{40}{16}= \frac52 = 2{,}5\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 26}{2\cdot8} =\)
\(= \frac{-12}{16}=-\frac34 = -0{,}75\).
Ответ: при \(x_1 = 2,5\) и \(x_2 = -0{,}75\).
г) \( 6x^2 - 2 = x \)
\(6x^2 - x - 2 = 0\)
\(a=6\), \(b=-1\), \(c=-2\).
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(=(-1)^2 - 4\cdot6\cdot(-2) =\)
\(=1 + 48 = 49\); \(\sqrt{D}=7\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2\cdot6} =\)
\(=\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2\cdot6} =\)
\(= \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} = -0,5. \)
Ответ: при \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 =-0,5\).
Пояснения:
Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого, если необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы все коэффициенты стали целочисленными, и переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
№550 учебника 2013-2022 (стр. 129):
а) \(x^2 - 8x + 9 = 0\)
\(a=1\), \(b=-8\), \(c=9\).
\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)
\(=64 - 36 = 28. \)
\(\sqrt{D} = \sqrt{28}= \sqrt{4\cdot7} = 2\sqrt{7}\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8)+ 2\sqrt{7}}{2\cdot1} =\)
\(=\frac{8+2\sqrt{7}}{2} =\frac{\cancel2(4+\sqrt{7})}{\cancel2}=\)
\(=4+\sqrt{7} \approx 4 + 2,65\approx 6,65 \).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8)- 2\sqrt{7}}{2\cdot1} =\)
\(=\frac{8-2\sqrt{7}}{2} =\frac{\cancel2(4-\sqrt{7})}{\cancel2}=\)
\(=4-\sqrt{7} \approx 4 - 2,65\approx 1,35 \).
Ответ: \(x_1 \approx 6,65 \), \(x_2\approx 1,35 \).
б) \(2y^2 - 8y + 5 = 0\)
\(a=2\), \(b=-8\), \(c=5\).
\( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot2\cdot5 =\)
\(=64 - 40 = 24. \)
\(\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}\).
\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + 2\sqrt{6}}{2\cdot2} =\)
\(=\frac{8+2\sqrt{7}}{4} =\frac{\cancel2(4+\sqrt{6})}{\cancel4_2}=\)
\(=\frac{4+\sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,45}{2}\approx \frac{6,45}{2} \approx3,23\).
\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - 2\sqrt{6}}{2\cdot2} =\)
\(=\frac{8-2\sqrt{7}}{4} =\frac{\cancel2(4-\sqrt{6})}{\cancel4_2}=\)
\(=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,45}{2}\approx \frac{1,55}{2} \approx0,78\).
Ответ: \( y_1 \approx3,23\), \( y_2 \approx0,78\).
Пояснения:
1. Количество корней полного квадратного уравнения
\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
2. Свойство арифметического корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
3. Вынесение общего множителя за скобки:
\(ab + ac = a(b+c)\).
4. Сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
Вернуться к содержанию учебника