Упражнение 554 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{a ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\dfrac{2a-1}{a}}{\dfrac{1-a}{3a}} =\frac{\dfrac{a^2-2a+1}{a}}{\dfrac{1-a}{3a}} =\)

\(=\frac{\dfrac{(a-1)^2}{a}}{\dfrac{1-a}{3a}} =\dfrac{(a-1)^2}{a} : \dfrac{1-a}{3a}=\)

\(=\dfrac{(a-1)^2}{a} \cdot \dfrac{3a}{1-a}=\)

\(=\dfrac{(1-a)^{\cancel{2}}\cdot3\cancel a}{\cancel a\cdot\cancel{(1-a)}} =3(1-a)\).

Если \(a = -1,5\), то

\(3\cdot(1 - (-1,5) = 3\cdot(1 + 1,5) =\)

\(=3\cdot2,5 = 7,5\).

Ответ: \(7,5\).

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Сначала выражение, стоящее в числителе привели к общему знаменателю и выполнили вычитание дробей. В результате получили дробь, у которой в числителе получилась формула квадрата разности двух выражений:

\(a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2\).

2) Затем дробь, стоящую в числителе дробного выражения разделили на дробь, стоящую в знаменателе. Перешли от деления к умножению на обратную дробь и выполнили сокращение, учитывая то, что квадраты противоположных чисел равны:

\((a - 1)^2 = (1 - a)^2.\)

3) Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

4) В упрощенное выражение подставили значение переменной и выполнили вычисления.

1) а) 1) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

\(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).

\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2 -4\cdot1\cdot6 =\)

\(=25 -24 = 1\);    \(\sqrt D = 1\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-5) + 1}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-5) - 1}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{4}{2} = 2\).

Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\).

2) \( 6x^2 - 5x + 1 = 0\)

\(a=6\), \(b=-5\), \(c=1\).

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot6\cdot1 = \)

\(25 - 24 = 1\);   \(\sqrt{D} = 1\).

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) - 1}{2\cdot6} =\)

\(=\frac{4}{12} = \frac13\).

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) + 1}{2\cdot6} =\)

\(=\frac{6}{12} = \frac12\).

Ответ: \(x_1 = \frac13\), \(x_2 = \frac12\).

б) 1) \( 2x^2 - 13x + 6 = 0 \)

\(a=2\), \(b=-13\), \(c=6\).

\(D = b^2 - 4ac =(-13)^2 -4\cdot2\cdot6 =\)

\(=169 - 48 = 121\);   \(\sqrt{D} =11\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) + 11}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{24}{4} = 6\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) - 11}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{2}{4} = \frac12\).

Ответ: \(x_1 = 6\), \(x_2 = \frac12\).

2) \( 6x^2 - 13x + 2 = 0\)

\(a=6\), \(b=-13\), \(c=2\).

\(D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4\cdot6\cdot2 =\)

\(=169 - 48 = 121\);    \(\sqrt{D} = 11\)

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13) - 11}{2\cdot6} =\)

\(= \frac{2}{12} = \frac16\).

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13) + 11}{2\cdot6} =\)

\(=\frac{24}{12} = 2\).

Ответ: \(x_1 = \frac16\), \(x_2 = 2\).

2) Сравнение:

В уравнениях, у которых коэффициенты а и с поменяли местами корни взаимно обратны.

3) Доказательство:

1) \ax^2 + bx + c = 0\)

\(D = b^2 - 4ac\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).

2) \(cx^2 + bx + a = 0\)

\(D = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac\).

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2c}\)

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2c}\)

3) \(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2c}=\)

\(=\frac{-(b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a}\cdot \frac{-(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{2c}=\)

\(=\frac{(b - \sqrt{b^2 - 4ac})(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a\cdot2c}=\)

\(=\frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4ac}=\)

\(=\frac{\cancel{b^2} - \cancel{b^2} + 4ac}{4ac}=\frac{4ac}{4ac}=1\)

Аналогично, произведение двух других корней равно 1. Значит, корни взаимно обратны.

Пояснения:

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

При доказательстве использовали:

1. Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

2. Свойство корня:

\((\sqrt{a})^2= a\).

3. Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

4. Разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).