Упражнение 537 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^2 - 14x + 16 = 0\)

\(a=3,  k=\frac {-14}{2}=-7,  c = 16\).

\(D_1=k^2 - ac=(-7)^2 - 3\cdot16 =\)

\(=49-48 = 1\);    \(\sqrt{D_1}=1.\)

\( x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)+1}{3} =\)

\(=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\).

\( x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-7)-1}{3} =\)

\(=\frac{6}{3}=2\).

Ответ: \( x_1=2\frac{2}{3}\),  \(x_2 = 2\).

б) \(5p^2 - 16p + 3 = 0\)

\(a=5,  k=\frac {-16}{2}=-8,  c = 3\).

\(D_1=k^2 - ac=(-8)^2 - 5\cdot3 =\)

\(=64-15 = 49\);    \(\sqrt{D_1}=7\).

\( p_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-8)+7}{5}=\)

\(=\frac{15}{5}=3\).

\( p_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-8)-7}{5}=\)

\(=\frac{1}{5} = 0,2\).

Ответ: \( p_1=3\),  \( p_2=0,2\).

в) \(d^2 + 2d - 80 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {2}{2}=1,  c = -80\).

\(D_1=k^2 - ac=1^2 - 1\cdot(-80) = \)

\(=1+80 = 81\);    \(\sqrt{D_1}=9\) .

\( d_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1+9}{1}= \)

\(=\frac81=8\).

\( d_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1-9}{1}= \)

\(=\frac{-10}{1}=-10\).

Ответ: \( d_1= 8\),   \( d_2=-10\).

г) \(x^2 - 22x - 23 = 0\)

\(a=1,  k=\frac {-22}{2}=-11,  c = -23\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-11)^2 - 1\cdot(-23) =\)

\(=121+23 = 144\);    \(\sqrt{D_1}=12.\)

\(x_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-11)+12}{1}=\)

\(=\frac{23}{1}=23\).

\(x_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-11)-12}{1}=\)

\(=\frac{-1}{1}=-1\).

Ответ: \(x_1=23\),   \(x_2= -1\).

д) \(4t^2 - 36t + 77 = 0\)

\(a=4,  k=\frac {-36}{2}=-18,  c = 77\).

\(D_1=k^2 - ac=(-18)^2 - 4\cdot77 =\)

\(=324-308 =16\),    \(\sqrt{D_1}=4.\)

\(t_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-18)+4}{4} =\)

\(=\frac{22}{4}=\frac{11}{2} = 5,5\).

\(t_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-18)-4}{4} =\)

\(=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} = 3,5\).

Ответ: \(t_1=5,5\),  \(t_2=3,5\).

е) \(15y^2 - 22y - 37 = 0\)

\(a=15,  k=\frac {-22}{2}=-11,  c = -37\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-11)^2 - 15\cdot(-37) = \)

\(=121+555 = 676\);    \(\sqrt{D_1}=26.\)

\(y_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-11)+26}{15} =\)

\(=\frac{37}{15}=2\frac{7}{15}\).

\(y_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} =\frac{-(-11)-26}{15} =\)

\(=\frac{-15}{15}=-1\).

Ответ: \(y_1=2\frac{7}{15}\),  \(y_2=-1\).

ж) \(7z^2 - 20z + 14 = 0\)

\(a=7,  k=\frac {-20}{2}=-10,  c = 14\).

\(D_1=k^2 - ac=(-10)^2 - 7\cdot14 = \)

\(=100-98 = 2\);    \(\sqrt{D_1}=\sqrt2.\)

\(z_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-10)+\sqrt2}{7}= \)

\(=\frac{10+\sqrt2}{7} \).

\(z_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-10)-\sqrt2}{7}= \)

\(=\frac{10-\sqrt2}{7} \).

Ответ: \(z_1=\frac{10+\sqrt2}{7} \), 

\(z_2=\frac{10-\sqrt2}{7} \).

з) \(y^2 - 10y - 25 = 0\).

\(a=1,  k=\frac {-10}{2}=-5,  c = -25\).

\(D_1=k^2 - ac=\)

\(=(-5)^2 - 1\cdot(-25) =\)

\(=25+25 = 50\);   

\(\sqrt{D_1}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\).

\(y_1=\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5)+5\sqrt{2}}{1} =\)

\(=5+5\sqrt2\).

\(y_2=\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-5)-5\sqrt{2}}{1} =\)

\(=5-5\sqrt2\).

Ответ: \(y_1=5+5\sqrt2\), 

\(y_2=5-5\sqrt2\).

Пояснения:

В каждом уравнении коэффициент \(b\) является четным, то есть \(b = 2k\). В таком случае при решении полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) при нахождении дискриминанта можно использовать следующую формулу:

\(D_1=k^2-4ac\),   где \(k = \frac{b}{2}\).

– если \(D_1>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-k+\sqrt{D_1}}{a}\);

\(x_2 =\frac{-k-\sqrt{D_1}}{a}\).

– если \(D_1=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{k}{a}\).

– если \(D_1<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( x^2 - 11x + 31 = 1 \)

\( x^2 - 11x + 31- 1=0 \)

\(x^2 - 11x + 30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 30\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot30 =\)

\(=121 - 120 = 1 \);    \( \sqrt{D} = 1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11)+1}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{12}{2} = 6\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11)-1}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{10}{2} =5\).

Ответ: при \( x_1 = 6\) и \( x_2 = 5\).

б) \( x^2 - 5x - 3 = 2x - 5 \)

\( x^2 - 5x - 3 - 2x + 5=0 \)

\(x^2 - 7x + 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac =(-7)^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=49 - 8 = 41\);    \( \sqrt{D} = \sqrt{41}\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-7) + \sqrt{41}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-7) - \sqrt{41}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{7- \sqrt{41}}{2} \).

Ответ: при \( x_1 =\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \),

\( x_2 =\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \).

в) \( 3x^2 - 2x + 1 =7x + 1 \)

\( 3x^2 - 2x + 1 - 7x - 1 =0 \)

\( 3x^2 - 9x = 0\)

\(x(3x - 9) = 0. \)

\(x_1 = 0\)   или   \(3x -9 =0 \)

                       \(3x =9 \)

                       \(x = \frac93\)

                       \(x_2 = 3\)

Ответ: при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).

г) \( -2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x \)

\( -2x^2 + 5x + 6 - 4x^2 - 5x =0\)

\(-6x^2 + 6 = 0 \)

\(-6x^2 = -6 \)

\(x^2 = 1\)

\(x_1 = -\sqrt1\)    и    \(x_2 = \sqrt1\)

\(x_1 = -1\)    и       \(x_2 = 1\)

Ответ: при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае по условию составили уравнение, затем все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения.

2. В пунктах а) и б) получилось полное квадратное уравнение. Количество корней полного квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

3. В пункте в) получилось неполное квадратное уравнение \(ax^2+bx=0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом получается линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

4. В пункте г) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).