Упражнение 542 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)\((2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}\)

\( 10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac25 \)

\( 10x^2 + \cancel{2x} - 15x - 3 - \cancel{2x} - \frac25 = 0\)

\(10x^2 - 15x - 3\frac{2}{5} = 0 \)

\(10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0 \)   \( / \times5\)

\(50x^2 - 75x - 17 = 0\)

\(a = 50\),  \(b = -75\),  \(c = -17\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-75)^2 - 4\cdot50\cdot(-17) =\)

\(=5625 + 3400 = 9025\);

\( \sqrt{D} = 95\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-75) + 95}{100}=\)

\(=\frac{170}{100} = 1{,}7\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-75) - 95}{100}=\)

\( = \frac{-20}{100} = -0{,}2. \)

Ответ: \( x_1 = 1,7\),  \( x_2 = -0,2\).

б) \((3y - 1)(y + 3) = y(1 + 6y)\)

\(3y^2 + 9y -y - 3 = y + 6y^2\)

\(3y^2 + 9y -y - 3 - y - 6y^2=0\)

\(-3y^2 + 7y - 3 = 0\)   \( /\times(-1)\)

\(3y^2 - 7y + 3 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -7\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)

\(=49 - 36 = 13\),     \(\sqrt{D} = \sqrt{13}\).

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=  \frac{-(-7)+ \sqrt{13}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{7+ \sqrt{13}}{6}\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=  \frac{-(-7)- \sqrt{13}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{7- \sqrt{13}}{6}\).

Ответ: \( y_1 =\frac{7+ \sqrt{13}}{6}\), 

\(y_2=\frac{7- \sqrt{13}}{6}\).

в) \((t - 1)(t + 1) = 2\bigl(5t - 10\frac12\bigr)\)

\(t^2 - 1=2(5t -10,5)\)

\(t^2 - 1= 10t - 21\)

\( t^2 - 1 - 10t + 21 =0\)

\( t^2 - 10t + 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 20\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2-4\cdot1\cdot20=\)

\(=100 - 80 = 20\);   

\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\).

\( t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10) + 2\sqrt{5}}{2} =\)

\(=\frac{10 + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(5 + \sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=5 + \sqrt{5}. \)

\( t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10) - 2\sqrt{5}}{2} =\)

\(=\frac{10 - 2\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(5 - \sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=5 - \sqrt{5}. \)

Ответ: \( t_1 = 5 + \sqrt{5} \), 

\( t_2 =5 - \sqrt{5}. \)

г) \(-z(z + 7) = (z - 2)(z + 2)\)

\(-z^2 - 7z = z^2 - 4\)

\( -z^2 - 7z - z^2 + 4 =0\)

\( -2z^2 - 7z + 4 = 0 \)   \(/\times(-1)\)

\(2z^2 + 7z - 4 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -4\)

\(D =b^2 - 4ac = 7^2 - 4\cdot2\cdot(-4) =\)

\(=49 + 32 = 81\);     \(\sqrt{D} = 9\).

\(z_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 + 9}{2\cdot2}=\)

\( = \frac{2}{4} = 0{,}5\).

\(z_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 - 9}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{-16}{4} = -4 \).

---

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Раскрытие скобок:

- умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c+d) = ac + ad + bc+bd\);

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c\) = ab + ac\);

- разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).

2. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение. Если коэффициент \(a\) получился отрицательный, умножили обе части уравнения на \(-1\).

3. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(5x^2 = 9x + 2\)

\(5x^2 - 9x - 2=0\)

\(a = 5\),  \(b = -9\),  \(c = -2\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot5\cdot(-2) =\)

\(=81 + 40 = 121\);    \(\sqrt{D}=11\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9) +11}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{20}{10} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9) -11}{2\cdot5} =\)

\( = \frac{-2}{10} = -0{,}2\).

Ответ: \( x_1 = 2\),  \( x_2 = -0,2\).

б) \(-x^2 = 5x - 14\)

\( -\,x^2 - 5x + 14 = 0 \)    \( /\times (-1)\)

\(t^2 + 5x - 14 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -14\)

\(D =b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot1\cdot(-14) =\)

\(=25 + 56 = 81\);   \(\sqrt{D}=9\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5 + 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{4}{2} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-5 - 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{-14}{2} = -7. \)

Ответ: \( x_1 = 2\),  \( x_2 = -7\).

в) \(6x + 9 = x^2\)

\(-x^2 + 6x + 9 =0\)    \( /\times (-1)\)

\( x^2 - 6x - 9 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -9\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)

\(=36 + 36 = 72\);  

\(\sqrt{D}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6) +6\sqrt2}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{\cancel2(3 +3\sqrt2)}{\cancel2} =3 + 3\sqrt2. \)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6) +- 6\sqrt2}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{\cancel2(3 - 3\sqrt2)}{\cancel2} =3 - 3\sqrt2. \)

Ответ: \( x_1 =3 + 3\sqrt2 \),

\( x_2 =3 - 3\sqrt2 \).

г) \(z - 5 = z^2 - 25\)

\(z - 5 - z^2 + 25 = 0\)

\(-z^2 + z + 20 = 0\)    \( /\times (-1)\)

\( z^2 - z - 20 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -20\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\(=1 + 80 = 81\);    \(\sqrt{D}=9\).

\( z_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) + 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{10}{2}=5\).

\( z_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) - 9}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{-8}{2}=-4\).

Ответ: \( z_1 = 5\),  \( z_2 = -4\).

д) \(y^2 = 52y - 576\)

\( y^2 - 52y + 576 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -52\),  \(c = 576\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-52)^2 - 4\cdot1\cdot576 = \)

\(=2704 - 2304 = 400\);    \( \sqrt{D}=20\).

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-52) + 20}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{72}{2}= 36\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-52) - 20}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{32}{2}= 16\).

Ответ: \( y_1 = 36\),  \( y_2 = 16\).

е) \(15y^2 - 30 = 22y + 7\)

\(15y^2 - 30 - 22y - 7=0\)

\( 15y^2 - 22y - 37 = 0 \)

\(a = 15\),  \(b = -22\),  \(c = -37\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-22)^2 - 4\cdot15\cdot(-37) =\)

\(=484 + 2220 = 2704\),    \(\sqrt{D}=52\).

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) + 52}{2\cdot15}=\)

\(=\frac{74}{30} = \frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) - 52}{2\cdot15}=\)

\(= \frac{-30}{30} = -1. \)

Ответ: \( y_1 = 2\frac{7}{15}\),  \( y_2 = -1\).

ж) \(25p^2 = 10p - 1\)

\( 25p^2 - 10p + 1 = 0 \)

\(a = 25\),  \(b = -10\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2 - 4\cdot25\cdot1 =\)

\(=100 - 100 = 0\).

\( p =-\frac{b}{2a}= -\frac{-10}{2\cdot25} = \frac{10}{50} =\)

\(=\frac{1}{5}=0,2\).

Ответ: \(p = 0,2\).

з) \(299x^2 + 100x = 500 - 101x^2\)

\( 299x^2 + 100x - 500 + 101x^2 = 0 \)

\(400x^2 + 100x - 500 = 0 \)     \( / : 100\)

\(4x^2 + x - 5 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = 1\),  \(c = -5\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot4\cdot(-5) =\)

\(=1 + 80 = 81\);    \(\sqrt{D}=9\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1 + 9}{2\cdot4} =\)

\(=\frac{8}{8} = 1\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1 - 9}{2\cdot4} =\)

\(=\frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25. \)

Ответ: \( x_1 = 1\),  \( x_2 = -1,25\).

---

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае сначала все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение. Затем, если коэффициент \(a\) получился отрицательный, умножили обе части уравнения на \(-1\).

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.