Упражнение 534 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x^2 - 11x + 2 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -11\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4\cdot5\cdot2 =\)

\(=121 - 40 = 81\),     \(\sqrt D = 9\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) + 9}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{20}{10} = 2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11) - 9}{2\cdot5} =\)

\(=\frac{2}{10} = 0,2\).

Ответ: \( x_1 = 2\); \(x_2 = 0,2\).

б) \(2p^2 + 7p - 30 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -30\)

\(D =b^2 - 4ac =7^2 - 4\cdot2\cdot(-30) =\)

\(=49 + 240 = 289\),    \(\sqrt D = 17\).

\( p_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 + 17}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{10}{4} = 2{,}5\).

\( p_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-7 - 17}{2\cdot2} =\)

\( = \frac{-24}{4} = -6. \)

Ответ: \( p_1 = 2,5\),  \( p_2 = - 6\).

в) \(9y^2 - 30y + 25 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = -30\),  \(c = 25\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-30)^2 - 4\cdot9\cdot25 =\)

\(=900 - 900 = 0\),

\( y = -\frac{b}{2a}= -\frac{-30}{2\cdot9} = \frac{30}{18} =\)

\(=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \).

Ответ: \(y = 1\frac{2}{3}.\)

г) \(35x^2 + 2x - 1 = 0\)

\(a = 35\),  \(b = 2\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot35\cdot(-1) =\)

\(=4 + 140 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\( x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-2 + 12}{2\cdot35} =\)

\(=\frac{10}{70} = \frac{1}{7}\).

\( x_2 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-2 - 12}{2\cdot35}=\)

\(=\frac{-14}{70} = -\frac{1}{5} = -0,2. \)

Ответ: \( x_1 =\frac{1}{7}\),  \( x_2 =-0,2\).

д) \(2y^2 - y - 5 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -5\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4·2·(-5) = \)

\(=1 + 40 = 41\),    \(\sqrt D = \sqrt{41}\).

\( y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\)

\(=\frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{1 + \sqrt{41}}{4} \).

\( y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{1 - \sqrt{41}}{4} \).

Ответ: \( y_1 =\frac{1 + \sqrt{41}}{4} \), 

\(y_2=\frac{1 - \sqrt{41}}{4} \).

е) \(16x^2 - 8x + 1 = 0\)

\(a = 16\),  \(b = -8\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot16\cdot1 =\)

\(=64 - 64 = 0\).

\( x = -\frac{b}{2a}= -\frac{-8}{2\cdot16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \(x = \frac{1}{4}.\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(3x^2 - 7x + 4 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -7\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot3\cdot4 = \)

\(=49-48=1\);    \(\sqrt{D} = 1\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{7+1}{2\cdot3}=\frac{8}{6}=\)

\(=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{7-1}{2\cdot3}=\frac{6}{6}=1.\)

Ответ: \(x_1 =1\frac{1}{3}\), \(x_2 =1\).

б) \(5x^2 - 8x + 3 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -8\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac = (-8)^2 -4\cdot5\cdot3 =\)

\(=64-60=4\);    \(\sqrt{D} = 2\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)+2}{2\cdot5}=\)

\(= \frac{10}{10}=1\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)-2}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{6}{10}=0,6.\)

Ответ: \(x_1 =1\),  \(x_2 =0,6\).

в) \(3x^2 - 13x + 14 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 14\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 -4\cdot3\cdot14 =\)

\(=169-168=1\);     \(\sqrt{D} = 1\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)+1}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{14}{6}=\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-13)-1}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{12}{6}=2\).

Ответ: \(x_1 = 2\frac{1}{3}\), \(x_2 =2\).

г) \(2y^2 - 9y + 10 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -9\),  \(c = 10\)

\(D =b^2 - 4ac = (-9)^2 -4\cdot2\cdot10 =\)

\(=81-80=1\);    \(\sqrt{D} = 1\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9)+1}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} = 2,5\)

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9)-1}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{8}{4}=2\)

Ответ: \(y_1 = 2,5\), \(y_2 = 2\).

д) \(5y^2 - 6y + 1 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -6\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot5\cdot1 =\)

\(=36-20=16\);    \(\sqrt{D} = 4\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6)+4}{2\cdot5}=1\).

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6)-4}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{2}{10}=0,2\).

Ответ: \(y_1 =1\), \(y_2 = 0,2\).

е) \(4x^2 + x - 33 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = 1\),  \(c = -33\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 -4\cdot4\cdot(-33) =\)

\(=1+528=529\);    \(\sqrt{D} = 23\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1+23}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{22}{8}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}\)

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1-23}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{-24}{8}=-3.\)

Ответ: \(x_1 =2\frac{3}{4}\), \(x_2 = -3\).

ж) \(y^2 - 10y - 24 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = -24\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2 -4\cdot1\cdot(-24) =\)

\(=100+96=196\);    \(\sqrt{D} = 14\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10)+14}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{24}{2}=12\).

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10)-14}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-4}{2}=-2\).

Ответ: \(y_1 = 12\), \(y_1 =-2\).

з) \(p^2 + p - 90 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -90\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 -4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=1+360=361\);    \(\sqrt{D} = 19\).

\(p_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1+19}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{18}{2}=9\).

\(p_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1-19}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2}=-10\).

Ответ: \(p_1 =9\), \(p_2 =-10\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.