Упражнение 541 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(25 = 26x - x^2\)

\( x^2 - 26x + 25 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -26\),  \(c = 25\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-26)^2 - 4\cdot1\cdot25 =\)

\(=676 - 100 = 576\);   \( \sqrt{D} = 24. \)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-26) + 24}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{50}{2} = 25\)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-26) - 24}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{2}{2} = 1. \)

Ответ: \( x_1 = 25\), \( x_2 =1\).

б) \(3t^2 = 10 - 29t\)

\( 3t^2 + 29t - 10 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 29\),  \(c = -10\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=29^2 - 4\cdot3\cdot(-10) =\)

\(=841 + 120 = 961\);    \(\sqrt{D} = 31\).

\( t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 31}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{2}{6} = \frac13\).

\( t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 31}{2\cdot3} =\)

\(= \frac{-60}{6} = -10. \)

Ответ: \( t_1 =\frac13\), \( t_2 = -10\).

в) \(y^2 = 4y + 96\)

\( y^2 - 4y - 96 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -96\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-96) =\)

\(=16 + 384 = 400\);   \(\sqrt{D} = 20\)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + 20}{2} =\)

\(=\frac{24}{2}= 12\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - 20}{2} =\)

\(=\frac{-16}{2}= -8\).

Ответ: \( y_1 =12\),  \( y_2 = -8\).

г) \(3p^2 + 3 = 10p\)

\( 3p^2 - 10p + 3 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -10\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac =(-10)^2 - 4\cdot3\cdot3 = \)

\(=100 - 36 = 64\);   \(\sqrt{D} = 8\).

\( p_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) + 8}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{18}{6} = 3\).

\( p_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) - 8}{2\cdot3} =\)

\(=\frac{2}{6} = \frac13 \).

Ответ: \( p_1 = 3\), \( p_2 =\frac13 \).

д) \(x^2 - 20x = 20x + 100\)

\(x^2 - 20x - 20x - 100=0\)

\( x^2 - 40x - 100 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -40\),  \(c = -100\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-40)^2 - 4\cdot1\cdot(-100) =\)

\(=1600 + 400 = 2000\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{2000} =\sqrt{400\cdot5}= 20\sqrt{5}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) + 20\sqrt{5}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{40 + 20\sqrt{5}}{2} =\frac{\cancel2(20 + 10\sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=20 + 10\sqrt{5}. \)

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) - 20\sqrt{5}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{40 - 20\sqrt{5}}{2} =\frac{\cancel2(20 - 10\sqrt{5})}{\cancel2} =\)

\(=20 - 10\sqrt{5}. \)

Ответ: \( x_1 =20 + 10\sqrt{5}\),

\(x_2 =20 - 10\sqrt{5}. \)

е) \(25x^2 - 13x = 10x^2 - 7\)

\(25x^2 - 13x - 10x^2 + 7=0\)

\( 15x^2 - 13x + 7 = 0\)

\(a = 15\),  \(b = -13\),  \(c = 7\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot15\cdot7 = \)

\(=169 - 420 = -251 < 0. \)

Ответ: корней нет.

Пояснения:

1. В каждом случае сначала все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение.

2. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -3\)

\(D =b^2 - 4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-3) = \)

\(=25 + 24 = 49\)4    \(\sqrt D=7\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\)

\(=\frac{-(-5)+7}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{12}{4}=3\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5)-7}{2\cdot2} =\)

\( = \frac{-2}{4}=-\frac12 = -0,5 \)

Ответ: \( x_1 =3\),  \( x_2 = -0,5\).

б) \(3x^2 - 8x + 5 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -8\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac =(-8)^2 - 4\cdot3\cdot5 =\)

\(=64 - 60 = 4\);     \(\sqrt D=2 \).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)+2}{2\cdot3}= \)

\(=\frac{10}{6}=\frac53 = 1\frac23\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)-2}{2\cdot3}= \)

\(=\frac{6}{6}=1\).

Ответ: \( x_1 =1\frac23\),  \( x_2 =1\).

в) \(5x^2 + 9x + 4 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = 9\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac =9^2 - 4\cdot5\cdot4 =\)

\(=81 - 80 = 1\),    \(\sqrt D=1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9+1}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{-8}{10}=-0,8\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9-1}{2\cdot5}=\)

\( = \frac{-10}{10}=-1 \).

Ответ: \( x_1 = -0,8\),  \( x_2=-1\).

г) \(36y^2 - 12y + 1 = 0\)

\(a = 36\),  \(b = -12\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot36\cdot1 =\)

\(=144 - 144 = 0. \)

\( y =-\frac{b}{2a}= \frac{\cancel{12}  ^1}{2\cdot\cancel{36}_3} = \frac16\)

Ответ: \(y = \frac16\).

д) \(3t^2 - 3t + 1 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -3\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =(-3)^2 - 4\cdot3\cdot1 =\)

\(=9 - 12 = -3 < 0. \)

Ответ: корней нет.

е) \(x^2 + 9x - 22 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = -22\)

\(D =b^2 - 4ac =9^2 - 4\cdot1\cdot(-22) =\)

\(=81 + 88 = 169\);    \(\sqrt D=13\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9+13}{2} =\)

\(=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-9-13}{2} =\)

\(= \frac{-22}{2}=-11\).

Ответ: \( x_1 =2\),  \( x_2 =-11\).

ж) \(y^2 - 12y + 32 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 32\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot32 =\)

\(=144 - 128 = 16\);    \(\sqrt D=4. \)

\( y_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-12)+4}{2} = \)

\(=\frac{16}{2}=8\).

\( y_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-12)-4}{2} = \)

\(= \frac{8}{2}=4 \).

Ответ: \( y_1 =8\),  \( y_2 =4\).

з) \(100x^2 - 160x + 63 = 0\)

\(a = 100\),  \(b = -160\),  \(c = 63\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-160)^2 - 4\cdot100\cdot63 =\)

\(=25600 - 25200 = 400\),   \(\sqrt D=20 \).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{160+20}{2\cdot100} =\)

\(=\frac{180}{200}=\frac{9}{10} = 0,9\).

\( x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{160-20}{2\cdot100} =\)

\(= \frac{140}{200}=\frac{7}{10}=0,7 \).

Ответ: \( x_1 = 0,9\),  \( x_2 =0,7\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.