Упражнение 535 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2 - 11x + 31 = 1 \)

\( x^2 - 11x + 31- 1=0 \)

\(x^2 - 11x + 30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 30\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot30 =\)

\(=121 - 120 = 1 \);    \( \sqrt{D} = 1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11)+1}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{12}{2} = 6\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-11)-1}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{10}{2} =5\).

Ответ: при \( x_1 = 6\) и \( x_2 = 5\).

б) \( x^2 - 5x - 3 = 2x - 5 \)

\( x^2 - 5x - 3 - 2x + 5=0 \)

\(x^2 - 7x + 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac =(-7)^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=49 - 8 = 41\);    \( \sqrt{D} = \sqrt{41}\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-7) + \sqrt{41}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-7) - \sqrt{41}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{7- \sqrt{41}}{2} \).

Ответ: при \( x_1 =\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \),

\( x_2 =\frac{7+ \sqrt{41}}{2} \).

в) \( 3x^2 - 2x + 1 =7x + 1 \)

\( 3x^2 - 2x + 1 - 7x - 1 =0 \)

\( 3x^2 - 9x = 0\)

\(x(3x - 9) = 0. \)

\(x_1 = 0\)   или   \(3x -9 =0 \)

                       \(3x =9 \)

                       \(x = \frac93\)

                       \(x_2 = 3\)

Ответ: при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).

г) \( -2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x \)

\( -2x^2 + 5x + 6 - 4x^2 - 5x =0\)

\(-6x^2 + 6 = 0 \)

\(-6x^2 = -6 \)

\(x^2 = 1\)

\(x_1 = -\sqrt1\)    и    \(x_2 = \sqrt1\)

\(x_1 = -1\)    и       \(x_2 = 1\)

Ответ: при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом случае по условию составили уравнение, затем все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения.

2. В пунктах а) и б) получилось полное квадратное уравнение. Количество корней полного квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

3. В пункте в) получилось неполное квадратное уравнение \(ax^2+bx=0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом получается линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

4. В пункте г) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

а) \(14x^2 - 5x - 1 = 0\)

\(a = 14\),  \(b = -5\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-5)^2 - 4\cdot14\cdot(-1) =\)

\(=25 + 56 = 81\);    \(\sqrt{D} = 9\)

\( x_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)+9}{2\cdot14} =\)

\(=\frac{14}{28} = \frac12 = 0,5\).

\( x_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)-9}{2\cdot14} =\)

\(=\frac{-4}{28} = -\frac17\).

Ответ: \( x_1= 0,5\), \( x_2=-\frac17\).

б) \(-y^2 + 3y + 5 = 0\)

\(a = -1\),  \(b = 3\),  \(c = 5\)

\(D =b^2 - 4ac = 3^2 -4\cdot(-1)\cdot5 = \)

\(=9 + 20=29 \);   \(\sqrt{D} = \sqrt{29}\)

\( y_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-3+\sqrt{29}}{2\cdot(-1)}= \)

\(=\frac{-(3-\sqrt{29})}{-2}=\frac{3-\sqrt{29}}{2} \).

\( y_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-3-\sqrt{29}}{2\cdot(-1)}= \)

\(=\frac{-(3+\sqrt{29})}{-2}=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \).

Ответ: \( y_1=\frac{3-\sqrt{29}}{2} \),

\( y_2=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \).

в) \(2x^2 + x + 67 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = 1\),  \(c = 67\)

\( D =b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot2\cdot67 =\)

\(=1 - 536 = -535 < 0. \)

Ответ: корней нет.

г) \(1 - 18p + 81p^2 = 0\)

\(81p^2 - 18p +1= 0\)

\(a = 81\),  \(b = -18\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac= \)

\(=(-18)^2 - 4\cdot81\cdot1 =\)

\(=324 - 324 = 0 \).

\( p =-\frac{b}{2a}= -\frac{-18}{2\cdot81} = \frac{18}{162} = \frac19. \)

Ответ: \( p =\frac19. \)

д) \(-11y + y^2 - 152 = 0\)

\( y^2 - 11y - 152 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = -152\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=11^2 - 4\cdot1\cdot(-152)=\)

\(=121 + 608 = 729 \);    \(\sqrt{D} = 27\)

\( y_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11)+27}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{38}{2} = 19\).

\( y_2= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11)-27}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-16}{2} = -8\).

Ответ: \( y_1=19\), \( y_2=-8\).

е) \(18 + 3x^2 - x = 0\)

\( 3x^2 - x + 18 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -1\),  \(c = 18\)

\( D =b^2 - 4ac= (-1)^2 - 4\cdot3\cdot18 = \)

\(1 - 216 = -215 < 0. \)

Ответ: корней нет.

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.