Упражнение 434 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{3x - 1}{2} + \frac{2 - x}{3} + 1 = 0 \)   /\(\times6\)

\( 3(3x - 1) + 2(2 - x) + 6 = 0 \)

\( 9x - 3 + 4 - 2x + 6 = 0 \)

\(7x + 7 = 0 \)

\(7x = -7\)

\(x = -\frac77\)

\(x = -1\)

Ответ: \(x = -1\).

б) \( \frac{y - 10}{6} - \frac{5 - 2y}{4} = 2{,}5 \)

\( \frac{y - 10}{6} - \frac{5 - 2y}{4} = \frac{5}{2} \)     /\(\times12\)

\( 2(y - 10) - 3(5 - 2y) = 6 \cdot 5 \)

\( 2y - 20 - 15 + 6y = 30 \)

\(8y - 35 = 30 \)

\(8y = 30 + 35 \)

\(8y = 65 \)

\(y = \frac{65}{8} \)

\(y = 8\frac{1}{8} \)

Ответ: \(y = 8\frac{1}{8} \).

Пояснения:

– Для уравнений с дробями применён метод избавления от знаменателей: обе части уравнения домножаем на наименьший общий знаменатель всех знаменателей, содержащихся в уравнении, что позволяет работать с целыми коэффициентами.

– При раскрытии скобок использовано распределительное свойство:

\(k(a+b)=ka+kb\).

– Перенос членов с \(x\) в одну сторону, свободных членов - в другую, сводит уравнение к виду \(ax = b\), которое имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

а) \( \frac{1}{3\sqrt{3}-4} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt{3}+4}}} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4}^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt{3}-4}}}=\)

\(=\frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)}=\)

\(=\frac{\cancel{3\sqrt{3}}+4 - \cancel{3\sqrt{3}}+4}{(3\sqrt{3})^2-4^2}=\)

\(=\frac{8}{9\cdot3-16}=\frac{8}{27 - 16}=\)

\(=\frac{8}{11}\) - рациональное число.

Что и требовалось доказать.

б) \( \frac{1}{5-2\sqrt{6}} ^{\color{blue}{\backslash{5+2\sqrt{6}}}} -\frac{1}{5+2\sqrt{6}}^{\color{blue}{\backslash{5-2\sqrt{6}}}}=\)

\( =\frac{(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\)

\( =\frac{\cancel5+2\sqrt{6}-\cancel5+2\sqrt{6}}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\)

\( =\frac{4\sqrt{6}}{25-4\cdot6}=\frac{4\sqrt{6}}{25-24}=\)

\(=\frac{4\sqrt{6}}{1}=4\sqrt{6}\) - иррациональное число.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Число, которое можно записать в виде отношения \(\frac{a}{n}\), где \(a\) - целое число, а \(n\) - натуральное число, называют рациональным числом. Иррациональные числа в таком виде представить нельзя.

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, после чего воспользоваться правилами сложения или вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Использованные приёмы и формулы:

Разность квадратов:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \)

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

Свойство степени:

\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).