Числовые множества

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Данное множество обозначается буквой N.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел. Данное множество обозначают буквой Z.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть NZ.

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел. Данное множество обозначают буквой Q. Очевидно, что ZQ.

С помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами N, Z и Q будет изображено так:

Название "рациональное число" связано с тем, что одним из значений латинского слова ratio является "отношение", а каждое рациональное число можно представить в виде отношения , где - целое число, а - натуральное. Поделив числитель данной дроби на ее знаменатель, можно представить данное рациональное число в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби (при этом повторяющуюся группу чисел называют периодом дроби и записывают в круглых скобках). Мы помним, что справа от конечной десятичной дроби мы можем записывать сколько угодно нулей, а значит, любую десятичную дробь мы можем записать в виде периодической десятичной дроби с периодом 0.

Вывод:

Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби.

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Рассмотрим уравнение ² = 3. Так как 3>0, то это уравнение имеет два корня:

Но не существует рационального числа, квадрат которого равен 3, то есть числа не являются рациональными. Эти числа являются примерами иррациональных чисел (приставка "ир" означает отрицание). Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел называют множеством действительных чисел, данное множество обозначают буквой R, при этом:

NZQR.

Иллюстрацией связи между числовыми множествами, которые рассмотрены выше, может служить схема:

Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль). Результатом данных действий будет действительное число. Заметим, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень, причем в результате мы получим также действительное число.

При сравнении действительных чисел помним, что:

Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа.

Любое отрицательное действительное число меньше нуля.

Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше.