Упражнение 439 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}\)

а)  \( \sqrt{55 + \sqrt{216}} =\)

\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{55^2-216}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{55^2-216}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{3025-216}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{3025-216}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{2809}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{2809}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{55 + 53}{2}}+\sqrt{\frac{55 - 53}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{108}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}=\sqrt{54}+\sqrt{1}=\)

\(=\sqrt{9\cdot6}+\sqrt{1}=3\sqrt{6}+1.\)

б) \(\sqrt{86 - \sqrt{5460}} =\)

\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{86^2-5460}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{86^2-5460}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{7396-5460}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{7396-5460}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{1936}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{1936}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{86 + 44}{2}}-\sqrt{\frac{86 - 44}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{130}{2}}-\sqrt{\frac{42}{2}}=\)

\(=\sqrt{65} - \sqrt{21}. \)

в) \( \sqrt{17 + \sqrt{288}} =\)

\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{17^2-288}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{17^2-288}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{289-288}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{289-288}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{1}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{17 + 1}{2}}+\sqrt{\frac{17 - 1}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{18}{2}}+\sqrt{\frac{16}{2}}=\)

\(=\sqrt{9} + \sqrt{8} =3 + \sqrt{4\cdot2}=\)

\(=3 + 2\sqrt{2}. \)

г) \( \sqrt{32 - \sqrt{1008}} =\)

\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{32^2-1008}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{32^2-1008}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{1024-1008}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{1024-1008}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{16}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{16}}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{32 + 4}{2}}-\sqrt{\frac{32 - 4}{2}}=\)

\(=\sqrt{\frac{36}{2}}-\sqrt{\frac{28}{2}}=\)

\(=\sqrt{18} - \sqrt{14} =\sqrt{9\cdot2} - \sqrt{14}=\)

\(=3\sqrt{2} - \sqrt{14}. \)

Пояснения:

– Формула двойного радикала:

\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}\).

Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);

\(\sqrt{k^2a} = k\sqrt{a}\).

Пояснения к пунктам:

а) \(a = 55\), \(b = 216\);

б) \(a = 86\), \(b = 5460\);

в) \(a = 17\), \(b = 288\);

г) \(a = 32\), \(b = 1008\).

1) \( 6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4\cdot3} = 6 - 2\sqrt{3}.\)

2) \( \sqrt{80} - 5\sqrt{3} =\sqrt{16\cdot5} - 5\sqrt{3}= \)

\(=4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}.\)

3) \( \sqrt{75} - 4\sqrt{5} =\sqrt{25\cdot3} - 4\sqrt{5}=\)

\(=5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}= -(4\sqrt{5}-5\sqrt{3}).\)

4) \( \frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} =\)

\(=\frac{1}{\sqrt{225\cdot3} - \sqrt{16\cdot2}}=\)

\(=\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}} \)

Взаимно обратные числа:

\( 15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}\) и \( \frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} \).

– Противоположные числа:

\( \sqrt{80} - 5\sqrt{3} \) и \( \sqrt{75} - 4\sqrt{5} \).

Пояснения:

Взаимно обратные числа - это числа вида \(x\) и \(\frac1x\), их произведение всегда равно единице.

Противоположные числа - это числа вида \(x\) и \(-x\), их сумма всегда равна нулю.

Чтобы определить пару взаимно обратных чисел и пару противоположных чисел, преобразовали данные выражения, используя следующие приемы:

- вынесение множителя из под знака корня: чтобы вынести множитель из-под корня, раскладываем подкоренное выражение на произведение, и извлекаем корень из тех множителей, которые являются квадратом какого-либо числа, учитывая свойство корня:

\(\sqrt{a\,b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.\)

- противоположные выражения:

\(a - b = -(b-a)\).