Упражнение 1329 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \(\begin{cases}2x^{2}+4xy-5y=1,\\ x^{2}+xy-6y^{2}=0\end{cases}\)

\( x^{2}+xy-6y^{2}=0\)

\( x^{2}+3xy - 2xy -6y^{2}=0\)

\( x(x+3y) - 2y(x + 3y)=0\)

\((x+3y)(x-2y)=0 \)

\(x + 3y = 0\)   или   \(x - 2y = 0\)

\(x = -3y\)                    \(x = 2y\)

1) \(\begin{cases}x = -3y,\\2x^{2}+4xy-5y=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = -3y,\\2\cdot (-3y)^2 + 4\cdot(-3y)\cdot y - 5y - 1 = 0\end{cases}\)

\(2\cdot (-3y)^2 + 4\cdot(-3y)\cdot y - 5y - 1 = 0\)

\(18y^2 - 12y^2-5y - 1 = 0\)

\(6y^2 -5y - 1 = 0\)

\(a = 6\),  \(b = -5\),  \(c = -1\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot6\cdot(-1) = \)

\(=25+24 = 49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D = 7\).

\(y_1 = \frac{5 + 7}{2\cdot6} = \frac{12}{12} = 1\).

\(y_2 = \frac{5 - 7}{2\cdot6} = \frac{-2}{12} = -\frac16\).

Если \(y = 1\), то

\(x = -3\cdot1 = -3\).

Если \(y = -\frac16\), то

\(x = -3\cdot(-\frac16) = \frac12\).

2) \(\begin{cases}x = 2y,\\2x^{2}+4xy-5y=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 2y,\\2\cdot(2y)^{2}+4\cdot (2y)\cdot y-5y=1\end{cases}\)

\(2\cdot(2y)^{2}+4\cdot 2y\cdot y-5y=1\)

\(8y^2 + 8y^2 - 5y - 1 = 0\)

\(16y^2 - 5y - 1 = 0\)

\(a = 16\),  \(b = -5\),  \(c = -1\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot16\cdot (-1) = \)

\(=25 + 64 = 89>0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt {89}\).

\(y_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{2\cdot16} = \frac{5 + \sqrt{89}}{32}. \)

\(y_2 = \frac{5 - \sqrt{89}}{2\cdot16} = \frac{5 - \sqrt{89}}{32}. \)

Если \(y = \frac{5 + \sqrt{89}}{32}\), то

\(x = \cancel2\cdot \frac{5 + \sqrt{89}}{\cancel{32}_{ {\color{blue}{16}} }}= \frac{5 + \sqrt{89}}{16}\).

Если \(y = \frac{5 - \sqrt{89}}{32}\), то

\(x = \cancel2\cdot \frac{5 - \sqrt{89}}{\cancel{32}_{ {\color{blue}{16}} }}= \frac{5 - \sqrt{89}}{16}\)

Ответ: \((-3; 1)\), \((\frac12; -\frac16)\),

\(( \frac{5 + \sqrt{89}}{16}; \frac{5 + \sqrt{89}}{32})\), \(( \frac{5 - \sqrt{89}}{16}; \frac{5 - \sqrt{89}}{32})\).

б) \(\begin{cases}x(3x-2y)=y^{2},\\ 3y^{2}=2x(x+2)-3.\end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x^2-2xy - y^{2} = 0,\\ 3y^{2}=2x^2+4x-3.\end{cases}\)

\(3x^2-2xy - y^{2} = 0\)

\(3x^2-3xy + xy - y^{2} = 0\)

\(3x(x-y) + y(x - y) = 0\)

\((x - y)(3x + y) = 0\)

\(x - y = 0\)   или   \(3x + y = 0\)

\(y = x\)                    \(y = -3x\)

1) \(\begin{cases} y=x,\\ 3y^{2}=2x^2+4x-3\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=x,\\ 3x^{2}=2x^2+4x-3\end{cases}\)

\(3x^{2}=2x^2+4x-3\)

\(3x^2 - 2x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 16 - 12 = 4\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_1=\frac{4 + 2}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2=\frac{4 - 2}{2\cdot1} = \frac22 = 1\).

Если \(x = 3\), то \(y = 3\).

Если \(x = 1\), то \(y = 1\).

2) \(\begin{cases} y=-3x,\\ 3y^{2}=2x^2+4x-3\end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-3x,\\ 3\cdot(-3x)^{2}=2x^2+4x-3\end{cases}\)

\(3\cdot(-3x)^{2}=2x^2+4x-3=0\)

\(27x^2 - 2x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(25x^2 -4x + 3 = 0\)

\(a = 25\),  \(b = -4\),  \(c = 3\).

\(D = (-4)^2 - 4\cdot25\cdot3 = \)

\( = 16 -  300 = -284 < 0 \) - корней нет.

Ответ: \((1,1)\), \((3,3)\).

Пояснения:

В каждой системе разложили одно из уравнений на два линейных множителя, применив способ группировки при разложении на множители. Учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, составили по две новых системы (один из множителей и второе уравнение системы), каждую из которых решили методом подстановки.