Упражнение 1325 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \( \begin{cases} \dfrac{2}{y-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2},\\[2mm] \dfrac{1}{x-2}=-\dfrac{3}{y} \end{cases} \)

ОДЗ:

\(x \ne - 1\)  и  \(x \ne 2\),

\(y \ne 1\)  и  \(y \ne 0\).

\( \begin{cases} \dfrac{2}{y-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2},\\[2mm] y = -3(x-2) \end{cases} \)

\( \begin{cases} \dfrac{2}{3x+6-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2},\\[2mm] y = -3x+6 \end{cases} \)

\(\dfrac{2}{-3x+6-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2}\)

\(\dfrac{2}{5-3x}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2}\)  \(/\times2 (5 - 3x)(x + 1)\)

\(4(x+1)+6(5-3x) = 5(5-3x)(x+1)\)

\(4x + 4 + 30 - 18x =5(5x + 5 - 3x^2 -3x)\)

\(34 - 14x =5(2x + 5 - 3x^2)\)

\(34 - 14x =5(2x + 5 - 3x^2)\)

\(34 - 14x = 10x + 25 - 15x^2\)

\(34 - 14x - 10x - 25 + 15x^2=0\)

\(15x^2 - 24x +9 = 0\)   \(/ : 3\)

\(5x^2 - 8x + 3 = 0\)

\(a =5\),  \(b = -8\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot5\cdot3 = \)

\(=64 - 60 = 4 >0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{8 + 2}{2\cdot5} = \frac{10}{10} = 1\).

\(x_2 = \frac{8 - 2}{2\cdot5} = \frac{6}{10} = 0,6\).

Если \(x = 1\), то

\(y = -3\cdot1+6=-3 + 6 = 3\).

Если \(x = 0,6\), то

\(y = -3\cdot0,6+6=-1,8 + 6 = 4,2\).

Ответ: \((1; 3)\) и \((0,6; 4,2)\).

б) \( \begin{cases} \dfrac{1}{y+1}=\dfrac{2}{x-1},\\[2mm] \dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}. \end{cases} \)

ОДЗ:

\(x \ne1\)  и  \(x \ne -2\),

\(y \ne -1\)  и  \(y \ne 1\)

\( \begin{cases} x-1 = 2(y+1),\\[2mm] \dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x-1 = 2y+2,\\[2mm] \dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2y+2 + 1,\\[2mm] \dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2y+3,\\[2mm] \dfrac{4}{2y+3+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}. \end{cases}\)

\(\dfrac{4}{2y+3+2}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{4}{2y+5}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{3}\) \(/\times 3(2y + 5)(y-1)\)

\(12(y-1) + 3(2y + 5) = (2y + 5)(y-1)\)

\(12y - 12 + 6y + 15 = 2y^2-2y+5y - 5)\)

\(18y + 3 = 2y^2 + 3y - 5\)

\(2y^2 + 3y - 5 - 18y - 3 = 0\)

\(2y^2 -15y - 8 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -15\),  \(c = - 8\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-15)^2 - 4\cdot2\cdot(-8) =\)

\(=225 + 64 = 289 >0\)  - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 17\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 =\frac{15 + 17}{2\cdot2} =\frac{32}{4}= 8 \),

\(x_2 =\frac{15 - 17}{2\cdot2} =\frac{-2}{4}= -0,5 \).

Если \(y = 8\), то

\(x = 2\cdot8+3 =16 + 3 = 19 \).

Если \(y = -0,5\), то

\(x = 2\cdot(-0,5)+3 =-1 + 3 = 2 \).

Ответ: \((19; 8)\) и \((2; -0,5)\).

Пояснения:

Каждую систему решаем методом подстановки.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной;

6) записать ответ.

При выполнении преобразований использовано свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Уравнения системы являются дробно-рациональными, для них обязательно указываем область допустимых значений (ОДЗ), то есть указываем значения переменных, при которых знаменатель обращается и учитываем то, что решение системы уравнений не может совпадать с ОДЗ.